[論文レビュー] The Chern-Ricci flow on smooth minimal models of general type

Matthew Gill|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、一般型の滑らかなヘルミート最小モデル上の正規化されたチャーン＝リッチフローが、全空間で大域的かつ滑らかに閉じた正のカレントに収束し、 canonical bundle の零点集合を除くコンパクト部分集合上でカレント・アインシュタイン計量に収束することを確立している。この結果は、ツジおよびチエン＝チャンのケーラー＝リッチフローの結果を非ケーラーなヘルミート設定に拡張し、複素幾何学におけるチャーン＝リッチフローが自然な一般化であることを示している。

ABSTRACT

We show that on a smooth Hermitian minimal model of general type the Chern-Ricci flow converges to a closed positive current on M. Moreover, the flow converges smoothly to a Kahler-Einstein metric on compact sets away from the null locus of K_M. This generalizes work of Tsuji and Tian-Zhang to Hermitian manifolds, providing further evidence that the Chern-Ricci flow is a natural generalization of the Kahler-Ricci flow.

研究の動機と目的

• 滑らかなケーラーでない設定におけるチャーン＝リッチフローを用いて、正規化されたケーラー＝リッチフローの収束結果を非ケーラー設定に拡張すること。
• ケーラーであるとは限らないが滑らかな一般型最小モデル上で、チャーン＝リッチフローの長時間存在および収束挙動を確立すること。
• canonical bundle $K_M$ の零点集合を除くコンパクト集合上で、フローが滑らかにカレント・アインシュタイン計量に収束することを証明すること。
• 自然な曲率および体積の有界性のもとで、極限カレントが一意的であり、最小の特異的集合であることを示すこと。

提案手法

• 一連のケーラー型ポテンシャル $\varphi(t)$ を用いた、複素放物型モンジュ＝アンプère方程式への還元。
• フローの進化を制御するための参照計量 $\hat{\omega}_t$ と固定された体積形式 $\Omega$ の使用。
• コリンズ＝トサッティのテクニックを応用し、$T = \hat{\omega}_\infty + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\psi$ として閉じた正のカレント $T$ を構成し、$T \geq c_0 \omega$ を満たす。
• 計量のトレースを制御するための量 $Q = \log \mathrm{tr}_{\omega_0} \omega - A\tilde{\varphi} + \frac{1}{\tilde{\varphi} + C_0}$ を導入し、ここで $\tilde{\varphi} = \varphi - \psi$ とする。
• 最大値原理を適用し、$\psi$ を用いて $\mathrm{tr}_{\omega_0} \omega$ の一様な上界を導出し、$\mathrm{tr}_{\omega_0} \omega \leq \frac{C'}{e^{C\psi}}$ を得る。
• ギル[14]の高階数推定と、$M \setminus \mathrm{Null}(K_M)$ 上の局所 $C^\infty_{\text{loc}}$ 収束を用いて、滑らかなカレント・アインシュタイン計量への収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期計量がケーラーでない場合であっても、一般型の滑らかなヘルミート最小モデル上での正規化されたチャーン＝リッチフローは、カレント・アインシュタイン計量に収束するか？
• RQ2 滑らかさの欠如が生じる正確な特異的集合は何か？ それは $K_M$ の零点集合として特徴付けられるか？
• RQ3 非ケーラー設定において、曲率および体積の有界性のもとで極限カレントを一意的に特徴付けられるか？
• RQ4 $K_M$ がネフかつ大きい非ケーラー多様体上でのチャーン＝リッチフローの挙動は何か？ これはケーラー＝リッチフローの挙動を一般化するか？
• RQ5 弱コンactnessのもとでカレントの収束が安定しており、大域的に拡張可能か？

主な発見

• 正規化されたチャーン＝リッチフローは、一般型の滑らかなヘルミート最小モデル上で、すべての時間について存在する。
• フローは全多様体 $M$ 上で閉じた正のカレント $\omega_{KE}$ にカレントとして収束する。
• コンパクト部分集合 $M \setminus \mathrm{Null}(K_M)$ 上で、フローは滑らかにカレント・アインシュタイン計量 $\mathrm{Ric}(\omega_{KE}) = -\omega_{KE}$ に収束する。
• 零点集合 $\mathrm{Null}(K_M)$ は、滑らかな収束のための最小の特異的集合であり、コリンズ＝トサッティによって確認されている。
• 極限カレント・アインシュタインカレント $\omega_{KE}$ は、唯一つであり、$M \setminus \mathrm{Null}(K_M)$ 上で滑らかで、曲率方程式と体積有界性を満たす閉じた正のカレントとして一意的である。
• 収束は、$M \setminus \mathrm{Null}(K_M)$ のコンパクト部分集合上で一様であり、$\omega(t) \to \omega_{KE}$ が $C^\infty_{\text{loc}}(M \setminus \mathrm{Null}(K_M))$ で成り立つ。