[論文レビュー] The classical Hom-Yang-Baxter equation and Hom-Lie bialgebras

Donald Yau|ArXiv.org|May 12, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 41被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、自己準同型 α によって構造写像が変形されるホム・リーモノイドにおける古典的ヤン・バキスタ方程式（CYBE）のねじれ一般化として、古典的ホム・ヤン・バキスタ方程式（CHYBE）を導入する。この研究では、CYBEの解がCHYBEに対する無限個の解を誘導することを確立し、ホム・リーダブルゲブラを導入して、特定の代数的条件下で余括弧の摂動が準三角的および余境界的構造を保存することを証明する。これは、ドリンフェルトのリーダブルゲブラ理論をホム設定に一般化するものである。

ABSTRACT

Motivated by recent work on Hom-Lie algebras and the Hom-Yang-Baxter equation, we introduce a twisted generalization of the classical Yang-Baxter equation (CYBE), called the classical Hom-Yang-Baxter equation (CHYBE). We show how an arbitrary solution of the CYBE induces multiple infinite families of solutions of the CHYBE. We also introduce the closely related structure of Hom-Lie bialgebras, which generalize Drinfel'd's Lie bialgebras. In particular, we study the questions of duality and cobracket perturbation and the sub-classes of coboundary and quasi-triangular Hom-Lie bialgebras.

研究の動機と目的

• ホム・リーモノイドの文脈において、古典的ヤン・バキスタ方程式（CYBE）をねじれバージョン、すなわち古典的ホム・ヤン・バキスタ方程式（CHYBE）に一般化すること。
• ドリンフェルトのリーダブルゲブラの一般化として、写像 α を組み込んだホム・リーダブルゲブラを導入し、その性質を調査すること。
• ホム・リーダブルゲブラにおける双対性と余括弧の摂動、特に余境界的および準三角的構造についての考察を行うこと。
• ホム・リーダブルゲブラにおける余括弧の摂動が、準三角的および余境界的性質を保存するための条件を確立すること。

提案手法

• ホム・リーモノイド (L, [-,-], α) において、[r,r]]^α = 0 として古典的ホム・ヤン・バキスタ方程式（CHYBE）を定義する。ここで括弧は α-ねじれテンソル積を含む。
• ねじれ構成法を用いる：(L, [-,-], α) がホム・リーモノイドであり、α がリーモノイド準同型であるならば、括弧を [-,-]_α = α∘[-,-] でねじる。
• 写像 α を通じて、古典的ヤン・バキスタ方程式の解を引き上げることで、CHYBE の解を構成する。
• ホム・リーダブルゲブラを、α-適合ホム・ジャコビおよびコ・ジャコビ恒等式を満たす余括弧 Δ を備えたホム・リーモノイドとして定義する。
• 余括弧の摂動 Δ_t = Δ + ad(t) を導入し、摂動構造がホム・リーダブルゲブラの性質を保つための条件を導出する。
• r が CHYBE を満たし、t が [[t,t]]^α + ∮(α⊗Δ)(t) = 0 および [[r,t]]^α + [[t,r]]^α + [[t,t]]^α = 0 を満たすならば、r+t は CHYBE を満たし、(L, [-,-], Δ_t, α, r+t) は準三角的ホム・リーダブルゲブラであることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホム・リーモノイドの文脈において、古典的ヤン・バキスタ方程式はどのようにねじれバージョンに一般化できるか？
• RQ2 余括弧の摂動 Δ_t = Δ + ad(t) がホム・リーダブルゲブラ構造を保存するための条件は何か？
• RQ3 摂動された r-行列 r+t が古典的ホム・ヤン・バキスタ方程式の解のままとなる条件は何か？
• RQ4 双対性と余括弧の摂動という概念は、リーダブルゲブラからホム・リーダブルゲブラへどのように拡張されるか？
• RQ5 任意の三角的ホム・リーダブルゲブラは、CHYBE の解 t を用いた、自明な余括弧 Δ=0 の摂動として得られるか？

主な発見

• リーモノイド L における古典的ヤン・バキスタ方程式（CYBE）の解は、L_α における古典的ホム・ヤン・バキスタ方程式（CHYBE）に対する無限個の解を誘導する。
• 構造 (L, [-,-], Δ, α) がホム・リーダブルゲブラであるための必要十分条件は、余括弧 Δ が α-ねじれコ・ジャコビ恒等式を満たし、α と可換であることである。
• 余括弧の摂動 Δ_t = Δ + ad(t) がホム・リーダブルゲブラ構造を保存するための条件は、t が [[t,t]]^α + ∮(α⊗Δ)(t) = 0 および α^⊗2(t) = t を満たすことである。
• もし (L, [-,-], Δ=ad(r), α, r) が準三角的ホム・リーダブルゲブラであり、t が [[t,t]]^α + ∮(α⊗Δ)(t) = 0 および [[r,t]]^α + [[t,r]]^α + [[t,t]]^α = 0 を満たすならば、(L, [-,-], Δ_t=ad(r+t), α, r+t) もまた準三角的ホム・リーダブルゲブラである。
• すべての三角的ホム・リーダブルゲブラは、t_{21} = -t かつ α^⊗2(t)=t を満たす CHYBE の解 t を用いた、自明な余括弧 Δ=0 の摂動として得られる。
• 摂動フレームワークにより、自明な余括弧 Δ=0 が、CHYBE の解を用いた三角的ホム・リーダブルゲブラの構成における普遍的な出発点であることが示された。