[論文レビュー] The Classification of Stabilizer Operations over Qubits

Daniel Grier, Luke Schaeffer|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、57種類の異なるゲートクラスを特定するテーブル式分解法を用いて、量子の安定化子操作をキュービット上で分類している。そのうち30個は1キュービットのクリフォード部分群に由来する。分類は基底保存性と、T₄および位相ゲートがZ保存操作の真部分集合を形成することを示すような、新たなテーブル不変量に焦点を当てる。

ABSTRACT

We present a complete classification of quantum stabilizer gates in terms of the functions they generate assuming the ability to swap qubits and use ancillary workspace. Because we view these stabilizer circuits as subroutines of some general quantum computation, we insist that any ancilla qubits used during the computation must not change in an input-dependent manner. This is the first attempt at a quantum extension of the classification of reversible classical gates introduced by Aaronson et al., another part of an ambitious program to classify all quantum gate sets. The classification uses, at its center, a reinterpretation of the tableau representation of stabilizer gates to give circuit decompositions, from which elementary generators can easily be extracted. There are a total of 57 different stabilizer classes generated in this way, 30 of which arise from the single-qubit subgroups of the Clifford group. At a high level, the remaining classes are arranged according to the bases they preserve. For instance, the CNOT gate preserves the X and Z bases because it maps X-basis elements to X-basis elements and Z-basis elements to Z-basis elements. The remaining classes are characterized by more subtle tableau invariants; for instance, the T_4 and phase gate generate a proper subclass of Z-preserving gates.

研究の動機と目的

• アーロンソンらによる古典的可逆ゲート分類を、安定化子操作に特化した量子ドメインに拡張すること。
• アーキテクチャ的キュービット交換とアーキテクチャ的補助作業領域を仮定したもとで、安定化子ゲートをすべて分類すること。アーキテクチャ的補助キュービットの状態変化に制約を課すこと。
• 保存する基底とより深いテーブル不変量に基づいて、安定化子ゲートの異なるクラスを特定・特徴付けること。
• テーブル形式の再解釈を用いて、安定化子ゲートの体系的回路分解フレームワークを提供すること。
• 標準的な基底保存のみでは捉えきれないゲートクラスも含め、57の安定化子ゲートクラスの完全な集合を特定すること。

提案手法

• 標準的な安定化子ゲートのテーブル表現を再解釈し、基本的生成子への直接的な回路分解を可能にする。
• テーブル形式を用いて、各安定化子ゲートクラスの基本的生成集合を抽出する。
• 補助キュービットが入力に依存しない方法で変化してはならないという制約を適用し、ゲートがクリーンなサブルーチンとして機能することを保証する。
• XやZ基底の保存に基づいてゲートクラスを分類し（例：CNOTはXおよびZ基底を保存）、非自明な部分集合を特定するためのより洗練された不変量を同定する。
• 群論的解析を用いて、すべての可能な安定化子ゲートクラスを列挙し、1キュービットクリフォード部分群に由来するクラスと区別する。
• テーブル不変量の分析を通じて、T₄および位相ゲートがZ保存ゲートの中で真の部分集合を形成することを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補助キュービットが入力に依存しない進化を示す制約のもとで、補助キュービットを用いた場合に得られる、完全な異なる安定化子ゲートクラスの集合は何か？
• RQ2 テーブル表現をどのように再解釈すれば、安定化子ゲートの体系的回路分解と生成子抽出が可能になるか？
• RQ3 どの安定化子ゲートクラスが特定の基底（例：XやZ）を保存するのか。また、それらはより洗練された不変量によって定義されるクラスとはどのように異なるのか？
• RQ4 T₄および位相ゲートクラスは、他のZ保存ゲートとは何が異なるのか。これはテーブル不変量によってどのように捉えられるか？
• RQ5 合計で何種類の安定化子ゲートクラスが存在するのか。それらは1キュービットクリフォード部分群と高レベルのクラスにどのように分布しているのか？

主な発見

• 与えられた制約のもとで、合計57種類の異なる安定化子ゲートクラスが特定され、そのうち30個は1キュービットクリフォード部分群に由来する。
• CNOTゲートは、X基底要素をX基底要素に写像し、Z基底要素をZ基底要素に写像するため、XおよびZ基底の両方を保存することが示された。
• 基底保存性を超えた、より深いテーブル不変量が部分集合を区別する。特に、Z保存ゲートの中でT₄および位相ゲートが真の部分集合を形成することを示す。
• テーブルに基づく分解法により、各ゲートクラスの基本的生成子が効果的に抽出され、体系的な回路合成が可能になった。
• 分類は、補助キュービットの制約を課えたもとで、古典的可逆ゲート分類の量子的拡張を確立した。
• フレームワークにより、補助キュービットが入力に依存しない方法で変化しないため、安定化子回路が大規模な量子計算におけるサブルーチン部品として正当化された。