[論文レビュー] The cobordism category and Waldhausen's K-theory

Marcel Bökstedt, Ib Madsen|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、抽象的横断性およびGromovのh原理を用いて、$I^k \times \mathbb{R}^{d+n-k}$ 内の $d$-次元コボルディズムの $k$-重に分類されたカテゴリの分類空間と、$G(d,n)$ 上の $n$-平面上の標準的ベクトル束のチホム空間の $\Omega^{d+n-k}$-重ループ空間との間のホモトピー同値を確立する。この結果により、$\Omega$-スペクトル $MTO(d)$ がコボルディズムカテゴリに関連する無限ループ空間として実現され、Waldhausenの $BO(d)$ の $A$-理論への無限ループ写像が構成される。

ABSTRACT

This paper examines the category C^k_{d,n} whose morphisms are d-dimensional smooth manifolds that are properly embedded in the product of a k-dimensional cube with an (d+n-k)-dimensional Euclidean space. There are k directions to compose k-dimensional cubes, so C^k_{d,n} is a (strict) k-tuple category. The geometric realization of the k-dimensional multi-nerve is the classifying space BC^k_{d,n}. At the end of the paper we construct an infinite loop map to Waldhausens K-theory. ΩBC^1_{d,n}-> A(BO(d)), We believe that the map factors through Ω^\inftyΣ^\infty(BO(d)_+) and that the composite B{Diff}(M^d) o A(BO(d)) is homotopic to the map considered by Dwyer, Williams and Weiss.

研究の動機と目的

• 埋め込まれた $d$-多様体の $k$-重に分類されたカテゴリの分類空間と、あるチホム空間構成との間のホモトピー同値を確立すること。
• $n \to \infty$ のとき、$\Omega$-スペクトル $MTO(d)$ をコボルディズムカテゴリに関連する無限ループ空間としての幾何的実現を与えること。
• Waldhausenの $BO(d)$ の $A$-理論への、$\Omega B{\cal C}^1_{d,n}$ からの無限ループ写像を構成し、既知の文献における写像と整合すること。
• ${\mathbb{R}^{d+n}}$ 内の正しく埋め込まれた $d$-多様体の空間の距離化可能性を証明し、これにより証明におけるホモトピー論的道具の使用を可能にすること。

提案手法

• 臨界対 $(X,Z)$ に関連する切断集合の単体的空間 $K_\bullet(X,Z)$ を導入し、ここで $Z \subset X \times \mathbb{R}^k$ は非横断的方角の閉じた集合である。
• 測度論的横断性条件の下で、抽象的横断定理を用いて $|K_\bullet(X,Z)| \xrightarrow{\sim} X$ がホモトピー同値であることを証明する。
• この結果を、$\mathbb{R}^k$ への正しく投影する $d$-多様体の空間 $D^k_{d,n} \subset \Psi_d(\mathbb{R}^{d+n})$ に適用し、$Z^k_{d,n}$ は座標超平面への非横断性を符号化する。
• Gromovの一般的 $h$-原理を用いて、$D^k_{d,n} \simeq \Omega^{d+n-k} \mathrm{Th}(U^\perp_{d,n})$ を示し、主要なホモトピー同値を確立する。
• グラスマンニアン上の反復 $S_\bullet$-構成と、コボルディズムカテゴリの特異ホモロジーの多単体的写像 $\tau^k$ を構成し、無限ループ構造を実現する。
• 得られた写像 $\Omega B{\cal C}^1_{d,n} \to A(BO(d))$ が $n = \infty$ のとき無限ループ写像であることを示し、$A$-理論における既知の構成と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $I^k \times \mathbb{R}^{d+n-k}$ 内に埋め込まれた $d$-次元コボルディズムの $k$-重に分類されたカテゴリの分類空間 $B{\cal C}^k_{d,n}$ のホモトピー型は何か？
• RQ2 測度論的横断性を用いて、${\mathbb{R}^{d+n}}$ 内で正しく埋め込まれた $d$-多様体の空間がチホム空間とホモトピー同値であるか？
• RQ3 コボルディズムカテゴリはWaldhausenの $BO(d)$ の $A$-理論とどのように関係しているか？ また、その分類空間から無限ループ写像を構成できるか？
• RQ4 距離化可能性は、埋め込み多様体の空間の位相において果たす役割は何か？ そして、ホモトピー論的議論を支援するにはどう寄与するか？
• RQ5 $\Omega B{\cal C}^1_{d,n}$ から $A(BO(d))$ への写像は無限ループ写像か？ また、$\Omega^\infty \Sigma^\infty (BO(d)_+)$ を通じて因数分解可能か？

主な発見

• 分類空間 $B{\cal C}^k_{d,n}$ は、$G(d,n)$ 上の $n$-次元標準的ベクトル束 $U^\perp_{d,n}$ のチホム空間の $\Omega^{d+n-k}$-重ループ空間 $\Omega^{d+n-k} \mathrm{Th}(U^\perp_{d,n})$ とホモトピー同値であり、正確なホモトピー論的記述が得られる。
• $\mathbb{R}^k$ への正しく投影する $d$-多様体の空間 $D^k_{d,n}$ は、単体的空間 $K_\bullet(D^k_{d,n}, Z^k_{d,n})$ を通じて $B{\cal C}^k_{d,n}$ とホモトピー同値である。
• 無限ループ空間 $MTO(d)$ はスペクトル $\{B{\cal C}^k_{d,\infty}\}_{k=1}^\infty$ として実現され、$MTO(d)$ スペクトルの幾何的モデルが得られる。
• $n = \infty$ のとき、写像 $\Omega B{\cal C}^1_{d,n} \to A(BO(d))$ は無限ループ写像であり、$\Omega^\infty \Sigma^\infty (BO(d)_+)$ を通じて因数分解可能であると予想される。
• コボルディズムカテゴリの特異ホモロジーとグラスマンニアン上の $S_\bullet$-構成の間の多単体的構造を用いた写像 $\tau^k$ の構成により、無限ループ構造が確認される。
• $\Psi_d(\mathbb{R}^{d+n})$ および $D^k_{d,n}$ の距離化可能性は§4で確立され、抽象的横断定理などのホモトピー論的道具の使用が可能になる。