[論文レビュー] The cohomology groups of real toric varieties associated to Weyl chambers of type $C$ and $D$

Suyoung Choi, Shizuo Kaji+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

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ひとこと要約

本稿では、タイプ$C_n$および$D_n$のウェイルチャネルに関連する実トーリック多様体の有理ベッチ数を計算し、その整数係数コホモロジー群が2-torsionのみを有することを証明することで、すべての古典的根系に対する分類を完了する。ウェイルチャネルから導かれる単体的複体に対して、poset位相およびメイヤー＝ビートリスの議論を用い、オイラーの zigzag 数および一般化されたオイラー数を含む明示的な公式を導出し、コホモロジー構造を完全に特定する。

ABSTRACT

Given a root system, the Weyl chambers in the co-weight lattice give rise to a real toric variety, called the real toric variety associated to the Weyl chambers. We compute the integral cohomology groups of real toric varieties associated to the Weyl chambers of type $C_n$ and $D_n$, completing the computation for all classical types.

研究の動機と目的

• タイプ$C_n$および$D_n$のウェイルチャネルに付随する実トーリック多様体の有理ベッチ数を計算すること。
• これらの実トーリック多様体の整数係数コホモロジー群が2-torsionのみを有することを証明することで、それらの整数係数コホモロジーを特定すること。
• すべての古典的根系（タイプ$A$、$B$、$C$、$D$）のウェイルチャネルに付随する実トーリック多様体の整数係数コホモロジー分類を完了すること。
• 普遍係数定理を用いて、既存のmod 2コホモロジーおよび有理ベッチ数の結果を整数係数コホモロジーへと拡張すること。

提案手法

• タイプ$C_n$および$D_n$の根系のコウェイト格子におけるウェイルチャネルから実トーリック多様体を構成する。
• 関連する単体的複体のホモトピー型を分析するため、poset位相を適用する。
• ラベルの部分集合によってインデックス付けされた部分複体に対するメイヤー＝ビートリス系列を用いて、非斉次コホモロジー群を計算する。
• 奇数符号付き部分集合および包含posetの構造を用いて、複体を分解し、ベッチ数を計算する。
• 最終的な公式において、オイラーの zigzag 数$a_n$および一般化されたオイラー数$b_n$の既知の母関数を活用する。
• 普遍係数定理を適用し、有理ベッチ数および2-torsionの有限性から整数係数コホモロジーを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ$C_n$のウェイルチャネルに付随する実トーリック多様体の有理ベッチ数は何か？
• RQ2 タイプ$D_n$のウェイルチャネルに付随する実トーリック多様体の有理ベッチ数は何か？
• RQ3 これらの実トーリック多様体の整数係数コホモロジー群には2-torsionを超える torsion が存在するか？
• RQ4 $X^{bR}_{C_n}$および$X^{bR}_{D_n}$のベッチ数は、オイラーの zigzag 数や一般化されたオイラー数といった既知の組合せ論的列とどのように関係するか？
• RQ5 poset位相およびスペクトル系列技法を用いて、これらの実トーリック多様体のコホモロジーを完全に特定できるか？

主な発見

• 実トーリック多様体$X^{bR}_{C_n}$の$r$番目の有理ベッチ数は、$\binom{n}{2r-2}2^{2r-2}s_{n-2r+2}a_{2r-2} + \binom{n}{2r}(2b_{2r} - 2^{2r}a_{2r})$で与えられ、ここで$s_m = 2^m - 1$、$a_k$は$k$番目のオイラーの zigzag 数、$b_k$は$k$番目の一般化されたオイラー数である。
• 実トーリック多様体$X^{bR}_{D_n}$の$r$番目の有理ベッチ数は、$\binom{n}{2r-4}2^{2r-4}t_{n-2r+4}a_{2r-4} + \binom{n}{2r}(2b_{2r} - 2^{2r}a_{2r})$で与えられ、ここで$t_m = (m-2)2^{m-1} + 1$、$a_k, b_k$は上記と同様である。
• 実トーリック多様体$X^{bR}_{C_n}$および$X^{bR}_{D_n}$の整数係数コホモロジー群は、2-torsionのみを有する。
• $n=3$ の場合、$\beta^1(X^{bR}_{C_3};\bbQ) = 13$、$\beta^2(X^{bR}_{C_3};\bbQ) = 12$、$\chi(X^{bR}_{C_3}) = 0$ である。
• $n=4$ の場合、$\beta^1(X^{bR}_{C_4};\bbQ) = 27$、$\beta^2(X^{bR}_{C_4};\bbQ) = 106$、$\chi(X^{bR}_{C_4}) = 80$ であり、公式の正しさが確認される。
• コホモロジー計算により、すべての古典的根系のウェイルチャネルに付随する実トーリック多様体の整数係数コホモロジー分類が完了する。