[論文レビュー] The cohomology ring of certain compactified Jacobians

Alexei Oblomkov, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、$(p,q)=1$ を満たす有理曲線 $C_{q/p}: x^q = y^p$ のコンパクト化ヤコビアン $J_{q/p}$ の等変コホモロジー環の明示的表示を提供し、それが $A(z)$ と $B(z)$ を含む多項式イデアルの飽和から得られる関係を満たす $e_2, \dots, e_p$ のチャーン類によって生成されることを確立している。主な結果は、$H^*(J_{q/p})$ 上の perverse filtration が乗法的であること、そしてその関連付きグレーディング環が、Cherednik代数やアフィンスプリンガー・ファイバーとの深い関係を示唆する、rigidified マップ $\mathbb{P}^1 \to C_{q/p}$ の座標環の退化形であるということである。

ABSTRACT

We provide an explicit presentation of the equivariant cohomology ring of the compactified Jacobian $J_{q/p}$ of the rational curve $C_{q/p}$ with planar equation $x^{q}=y^{p}$ for $(p,q)=1$. We also prove analogous results for the closely related affine Springer fiber $Sp_{q/p}$ in the affine flag variety of $SL_{p}$. We show that the perverse filtration on the cohomology of $J_{q/p}$ is multiplicative, and the associated graded ring under the perverse filtration is a degeneration of the ring of functions on a moduli space of maps $\mathbb{P}^{1} o C_{q/p}$. We also propose several conjectures about $J_{q/p}$ and more general compactified Jacobians.

研究の動機と目的

• 有理曲線 $C_{q/p}: x^q = y^p$ で $(p,q)=1$ を満たすものについて、コンパクト化ヤコビアン $J_{q/p}$ の等変コホモロジー環の明示的表現を提供すること。
• $H^*(J_{q/p})$ 上の perverse filtration が乗法的であることを証明し、コホモロジー環の主要な構造的性質を確立すること。
• perverse filtration の関連付きグレーディング環を、rigidified マップ $\mathbb{P}^1 \to C_{q/p}$ のモジュライ空間の座標環と関連づけ、退化機構を提案すること。
• $\mathrm{SL}_p$ のアフィンフラッグ多様体における密接に関連するアフィンスプリンガー・ファイバー $\mathrm{Sp}_{q/p}$ にこれらの結果を拡張し、非トーリックかつ非平面的曲線への一般化を予想すること。

提案手法

• $J_{q/p} \times C_{q/p}$ 上のユニバーサル・シーヴ $\mathcal{F}^{\mathrm{univ}}$ 及びその $J_{q/p} \times \mathbb{P}^1$ への射影による直接像 $\mathcal{E}^{\mathrm{univ}}_x$ を用いて、チャーン類 $e_i$ を定義すること。
• $A(z)$ と $B(z)$ における多項式恒等式で定義されるイデアルの $\epsilon$-飽和 $I^{\mathrm{sat}}_{q/p}$ を用いた、$\mathbb{Q}[\epsilon, e_2, \dots, e_p, f_2, \dots, f_q]/I^{\mathrm{sat}}_{q/p} \cong H^*_{\mathbb{G}_m}(J_{q/p})$ という次数付き環同型を用いた等変コホモロジー環の構成。
• $\mathcal{E}^{\mathrm{univ}}_x$ の等変チャーン類に関する対称多項式を用いたチャーンフィルトレーションの定義。これは [OY] の有理 Cherednik代数に関する結果により、 perverse フィルトレーションと一致することが示される。
• $C_{q/p}$ 上の $\mathbb{G}_m(q/p)$-作用を用いて、モジュライ空間 $M^{\mathrm{rig}}_1(\mathbb{P}^1, C_{q/p})$ に次数を定義し、その座標環 $\mathcal{O}_{q/p}$ が perverse フィルトレーションの関連付きグレーディングと同型であると予想すること。
• 計算代数システムを用いた数値的検証。$C_{4,2q,s}$（$s > 2q > 4$, $q,s$ が奇数）のような非トーリック曲線について、$J_{q/p}$ のベッチ数と $\mathcal{O}_{q/p}$ のグレーディング部分の次元を比較すること。
• 一般の曲線 $\Gamma$ について、$\chi(J_{\Gamma})$ と $\dim \mathcal{O}_{\Gamma}$ の関係を定式化する予想を提示。これは、有理正規化と平面的特異点を持つ曲線について、計算的証拠によって支持されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(p,q)=1$ を満たす曲線 $x^q = y^p$ のコンパクト化ヤコビアン $J_{q/p}$ の等変コホモロジー環の明示的表現は何か？
• RQ2 $H^*(J_{q/p})$ 上の perverse フィルトレーションは乗法的か？また、等変チャーン類を用いて定義されるチャーンフィルトレーションとはどのように関係するか？
• RQ3 $H^*(J_{q/p})$ 上の perverse フィルトレーションの関連付きグレーディング環は、rigidified マップ $\mathbb{P}^1 \to C_{q/p}$ のモジュライ空間の座標環の退化形として特定できるか？
• RQ4 有理正規化と単一の平面的特異点を持つ一般の曲線 $\Gamma$ に対して、$\dim \mathcal{O}_{\Gamma} = \chi(J_{\Gamma})$ は成り立つか？
• RQ5 非トーリック曲線について、$J_{\Gamma}$ のベッチ数と $\mathcal{O}_{\Gamma}$ のグレーディング部分の次元はどのように比較できるか？この関係を用いて、不等式の予想を定式化できるか？

主な発見

• 等変コホモロジー環 $H^*_{\mathbb{G}_m}(J_{q/p})$ は、$\mathbb{Q}[\epsilon, e_2, \dots, e_p, f_2, \dots, f_q]/I^{\mathrm{sat}}_{q/p}$ に同型であり、ここで $I^{\mathrm{sat}}_{q/p}$ は $\prod_{j=0}^{q-1}A(z+jp\epsilon) - \prod_{i=0}^{p-1}B(z+iq\epsilon)$ の係数に生成されるイデアルの $\epsilon$-飽和である。$A(z)$ と $B(z)$ は、$e_i$ と $f_j$ を係数に持つ $z$ に関する次数 $p$ および $q$ の多項式として定義される。
• $H^*(J_{q/p})$ 上の perverse フィルトレーションは乗法的であり、$P_{\leq i} \cup P_{\leq j} \subset P_{\leq i+j}$ を満たす。このフィルトレーションは、$\mathcal{E}^{\mathrm{univ}}_x$ の等変チャーン類に関する対称関数によって定義されるチャーンフィルトレーションと一致する。
• 関連付きグレーディング環 $\mathrm{Gr}^P H^*(J_{q/p})$ は、rigidified マップ $\mathbb{P}^1 \to C_{q/p}$ のモジュライ空間の座標環 $\mathcal{O}_{q/p}$ の退化形である。このことは、$j \in \mathbb{Z}$ に対して $\mathrm{Gr}^P H^{2i}(J_{q/p}) \cong \mathrm{Gr}^{j-i}_{\mathfrak{m}} \mathcal{O}_{q/p}[j]$ であると予想される同型を支持する。
• $s > 2q > 4$, $q,s$ が奇数である非トーリック曲線 $C_{4,2q,s}$ に対して、$J_{q/p}$ のベッチ数は $\mathcal{O}_{q/p}$ のグレーディング部分の次元を上回る。これは、一般には不等式 $\dim \mathrm{Gr}^{\delta-i}_{\mathfrak{m}} \mathcal{O}_{q/p} \leq \dim H^{2i}(\overline{\mathrm{Jac}}(C))$ が厳密であるが、$C_{q/p}$ については等号が成り立つことを示唆している。
• 有理正規化と平面的特異点を持つすべてのテスト済みの非トーリック曲線（$C_{4,2q,s}$ を含む）について、予想 $\dim \mathcal{O}_{\Gamma} = \chi(J_{\Gamma})$ が成り立つ。これはグレブナー基底技術を用いた計算的検証によって支持されている。
• Piontkowski による非トーリック曲線 $J_{\Gamma}$ のベッチ数データは、$\mathrm{Gr}^{\delta-i}_{\mathfrak{m}} \mathcal{O}_{q/p}$ の次元と、ある点まで一致するが、高次の項では厳密な不等式が現れる。これは、予想 $\dim \mathcal{O}_{\Gamma} = \chi(J_{\Gamma})$ が平面的トーリック曲線に対してのみ鋭い（sharp）である可能性を示唆している。