[論文レビュー] The cohomology ring of the real locus of the moduli space of stable curves of genus 0 with marked points

Pavel Etingof, André Henriques+2 more|ArXiv.org|Jul 25, 2005

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$n$個のマークドポイントを持つ安定型0の曲線のモジュライ空間の実的局所 $M_n$ の有理コホモロジー環を完全に特定する。細胞分解とオペラッド構造を用いて、コホモロジーが組合せ的に定義された代数 $ abla_n$ に同型であることを証明し、Poincaré系列が $ abla_{0\leq k<(n-3)/2}(1+(n-3-2k)^2 t)$ であることを示し、4- torsion を持たず、2- torsion と奇数 torsion のみが存在することを示している。

ABSTRACT

We compute the Poincare polynomial and the cohomology algebra with rational coefficeints of the manifold M_n of real points of the moduli space of algebraic curves of genus 0 with n labeled points. This cohomology is a quadratic algebra, and we conjecture that it is Koszul. We also compute the 2-local torsion in the cohomology of M_n. As was shown by E. Rains in arXiv:math/0610743 the cohomology of M_n does not have odd torsion, so that the above determines the additive structure of the integral homology and cohomology. Further, we prove that the rational homology operad of M_n is the operad of 2-Gerstenhaber algebras, which is closely related to the Hanlon-Wachs operad of 2-Lie algebras (generated by a ternary bracket). Finally, using Drinfeld's theory of quantization of coboundary Lie quasibialgebras, we show that a large series of representations of the quadratic dual Lie algebra L_n of H^*(M_n,Q) (associated to such quasibialgebras) factors through the the natural projection of L_n to the associated graded Lie algebra of the prounipotent completion of the fundamental group of M_n. This leads us to conjecture that the said projection is an isomorphism, which would imply a formula for lower central series ranks of the fundamental group. On the other hand, we show that the spaces M_n are not formal starting from n=6.

研究の動機と目的

• 実的局所 $M_n = \overline{M_{0,n}}(\mathbb{R})$ の有理コホモロジー環を特定すること。
• $M_n$ のベッチ数を計算する長年の未解決問題を解決すること。
• 対称群 $S_n$ 上のモジュールとしてのコホモロジーの構造を理解し、その torsion 部分群を特定すること。
• $M_n$ のホモロジーにおけるオペラッド構造を確立し、2-ゲルステンハーバー代数と関連付けること。
• $M_n$ が $K(\pi,1)$ 空間であることの証明と、その基本群 $\Gamma_n$ のコホモロジーの計算。

提案手法

• 細胞分解から得られる生成子と関係式を用いて、$H^*(M_n, \mathbb{Q})$ の表示を構成する。
• 基本的三角フォレストによって添字づけられる単項式によって定義される組合せ的代数 $\Lambda_n$ を定義し、コホモロジーのモデルとする。
• 三進フォレスト $G$ に付随する写像 $g_G: M_4^d \times M_c \to M_n$ を用いて、コホモロジー類の幾何的実現を定義し、$H_*(M_n, \mathbb{Z})$ に基本類を上げる。
• $\Lambda_n$ と $H^*(M_n, \mathbb{Z})$ の 2- torsion を除いた部分との間に完全な双対性を確立し、$\Lambda_n$ が $H^*(M_n, \mathbb{Z})/H^*(M_n, \mathbb{Z})\langle 2\rangle$ の直接和成分であることを証明する。
• ボクシュタインのスペクトル系列と $\mathbb{F}_2$ 係数でのコホモロジーを分析し、4- torsion を除外し、torsion 部分群の構造を特定する。
• $\tilde{\Lambda}_n \otimes \mathbb{F}_2 \cong H^*(M_n, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})/H^*(M_n, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\langle 2\rangle$ の同型を用いて、$H^*(M_n, \mathbb{Z})$ に 4- torsion がなく、$\Lambda_n$ の補数が奇数 torsion モジュールの積であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実的局所 $M_n = \overline{M_{0,n}}(\mathbb{R})$ の有理コホモロジー環は何か？
• RQ2 $M_n$ のベッチ数は $n$ と共にどのように増加し、その明示的公式は何か？
• RQ3 $H^*(M_n, \mathbb{Z})$ の torsion 構造は何か？4- torsion を含むか？
• RQ4 $M_n$ のホモロジーはどのようにオペラッドを形成し、どのような代数的構造を満たすか？
• RQ5 コホモロジーは組合せ的に定義された代数 $\Lambda_n$ に同型であるか？もしそうなら、その基底の幾何的実現は何か？

主な発見

• 有理コホモロジー $H^*(M_n, \mathbb{Q})$ の Poincaré 系列は $\prod_{0 \leq k < (n-3)/2} (1 + (n-3-2k)^2 t)$ であり、ベッチ数の完全な記述が得られる。
• $H_1(M_n, \mathbb{Q})$ のランクは $\binom{n-1}{3}$ であり、モラバが提起した問いに答えている。
• $H^*(M_n, \mathbb{Z})$ には 4- torsion がなく、2- torsion は直接和分解の一部として完全に記述されている。
• 有理コホモロジー環 $H^*(M_n, \mathbb{Q})$ は、組合せ的代数 $\Lambda_n$ に同型であり、これは超可換積と、二次のヤコビ恒等式を満たす反可換超可換三重 2-括弧で生成される。
• $M_n$ のホモロジー・オペラッドは、2-ゲルステンハーバー代数のオペラッドに同型であり、次数 0 の積と次数 1 の三重括弧で生成される。
• $H_*(M_n, \mathbb{Q})$ の基底は、基本的三角フォレストに付随する写像から引き戻された基本類として幾何的に実現され、組合せ的モデルが裏付けられる。