[論文レビュー] The cohomology rings of regular semisimple Hessenberg varieties for $h=(h(1),n,\ldots,n)$

Hiraku Abe, Tatsuya Horiguchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

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ひとこと要約

この論文は、タイプ$A_{n-1}$の正則半単純ヘッセ多様体のコホロジー環について、生成子と関係式を用いて明示的な表現を与える。主な結果は、コホロジー上の$σ_n$-表現と整合的であり、同時にボレルのフラッグ多様体コホロジーの表現に自然に特殊化され、さらに$σ_n$-不変部分環の明示的表現をも与える。

ABSTRACT

We investigate the cohomology rings of regular semisimple Hessenberg varieties whose Hessenberg functions are of the form $h=(h(1),n\dots,n)$ in Lie type $A_{n-1}$. The main result of this paper gives an explicit presentation of the cohomology rings in terms of generators and their relations. Our presentation naturally specializes to Borel's presentation of the cohomology ring of the flag variety and it is compatible with the representation of the symmetric group $\mathfrak{S}_n$ on the cohomology constructed by J. Tymoczko. As a corollary, we also give an explicit presentation of the $\mathfrak{S}_n$-invariant subring of the cohomology ring.

研究の動機と目的

• タイプ$A_{n-1}$のHessenberg関数$h = (h(1), n, \ldots, n)$をもつ正則半単純ヘッセ多様体のコホロジー環構造を特定すること。
• ボレルのフラッグ多様体コホロジーの表現を拡張し、生成子と関係式によるコホロジー環の明示的表現を提供すること。
• コホロジー上の$σ_n$-表現と整合的であることを確立すること。この表現はティモツコによって構成された。
• このようなヘッセ多様体のコホロジー環の$σ_n$-不変部分環の明示的表現を導出すること。

提案手法

• 等変コホロジーのGKM表現を用いて、ヘッセ多様体の通常コホロジー環を分析する。
• 多項式環$π[X_1, \ldots, X_n]$からコホロジー環$H^*(X(h))$への環準同型を構成し、$X_k$をクラス$\check{x}_k$にマッピングする。
• GKM関係式およびヘッセ多様体の構造に基づいて導かれる関係式を用いて、この準同型の核を同定する。
• ヒルベルト系列の比較とコホロジー環のねじれ自由性を用いて、誘導される写像が同型であることを証明する。
• コホロジー上の$σ_n$-作用を活用し、対称多項式と関係式$\check{x}_1 \prod_{\ell=2}^{h(1)} (\check{x}_1 - \check{x}_\ell) = 0$を用いて不変部分環を記述する。
• 得られた表現を、$ϵ$-係数における正則冪零ヘッセ多様体のコホロジーに関する既知の結果と比較し、既存のイデアルと整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ$A_{n-1}$のHessenberg関数$h = (h(1), n, \ldots, n)$をもつ正則半単純ヘッセ多様体のコホロジー環の明示的表現は何か？
• RQ2 コホロジー環構造は$σ_n$-表現とどのように関係し、ティモツコの構成と整合的か？
• RQ3 コホロジー環の$σ_n$-不変部分環は、対称多項式と追加の関係式を用いて明示的に記述可能か？
• RQ4 この環の表現は、自然にボレルのフラッグ多様体コホロジーの表現に特殊化されるか？
• RQ5 $σ_n$-不変部分環の表現は、既知の正則冪零ヘッセ多様体のコホロジー環の表現と整合的か？

主な発見

• Hessenberg関数$h = (h(1), n, \ldots, n)$に対して、コホロジー環$H^*(X(h))$は、$\mathbb{Z}[X_1, \ldots, X_n] / (e_i(X_1, \ldots, X_n), X_1 \prod_{\ell=2}^{h(1)} (X_1 - X_\ell) \mid 1 \leq i \leq n)$に同型である。ここで$e_i$は$i$番目の初等対称多項式である。
• Hessenberg関数の$h(1) = n$のとき、この環の表現はボレルのフラッグ多様体コホロジーの表現に自然に特殊化され、初等対称多項式による標準的表現が回復される。
• $σ_n$-不変部分環$H^*(X(h))^{σ_n}$は、$\mathbb{Z}[X_1, \ldots, X_n] / (e_i(X_1, \ldots, X_n), X_1 \prod_{\ell=2}^{h(1)} (X_1 - X_\ell) \mid 1 \leq i \leq n)$に同型であり、$σ_n$-作用と整合的であることが確認された。
• $H^*(X(h))^{σ_n}$のヒルベルト系列は$\frac{1 - q^{h(1)}}{1 - q} \prod_{j=1}^{n-1} \frac{1 - q^j}{1 - q}$であり、期待される不変部分環のペインカーレ系列と一致する。
• $σ_n$-不変部分環の表現は、$\mathbb{Q}$-係数における正則冪零ヘッセ多様体のコホロジー環の既知の表現と整合的であり、両方のイデアルが$\mathbb{Q}[X_1, \ldots, X_n]$で等しい。
• $\mathbb{Z}[X_1, \ldots, X_n]$から$H^*(X(h))^{σ_n}$への写像は、ヒルベルト系列の比較とコホロジー環のねじれ自由性を用いて同型であることが証明された。