[論文レビュー] The combinatorics of Morse theory with boundary

Jonathan M. Bloom|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、境界を持つ多様体上のモース理論およびフローリング理論をモデル化するため、双図形（bigraphs）——有向ハイパーグラフの拡張——を用いた組み合わせ的枠組みを構築する。双図形上で重み付き階数付き経路微分代数（DGA）を定義し、微分がゼロとなることと構造方程式を満たすことを証明することで、境界付きモノポールフローリングホモロジーおよび関連理論における不変量を構成するための基礎的代数的道具を提供する。

ABSTRACT

We prove several combinatorial results on path algebras over discrete structures related to directed graphs. These results are motivated by Morse theory on a manifold with boundary and, more generally, by Floer theory on a configuration space with boundary. Their purpose is to organize cobordism relationships among moduli spaces in order to define new algebraic invariants. We discuss applications to the Morse and Fukaya categories, and to work with John Baldwin on a bordered monopole Floer theory.

研究の動機と目的

• 境界付き多様体上のモース理論およびフローリング理論における経路のモジュライ空間間のコボルディズム関係を形式化すること。
• 有向グラフからの経路DGA形式論をハイパーグラフ（higraphs）およびその双図形カバーへと拡張し、境界構造を統合すること。
• 経路空間とその境界相互作用をモデル化する、重み付き階数付き微分を双図形上で定義すること。
• 微分がゼロとなることと構造方程式を満たすことを証明し、新しい代数的不変量の構成を可能にすること。
• 境界付きモノポールフローリングホモロジーおよび関連するフローリング的不変量のための組み合わせ的基盤を提供すること。

提案手法

• higraphsを導入する。higraphsとは、経路が𝔽₂上での微分付き代数（DGA）をなす有向ハイパーグラフである。
• 双図形（bigraphs）を、内部、安定、不安定な頂点の三層構造を持つhigraphsの被覆と定義する。内部辺および境界辺を含む。
• 辺に重みを割り当てる：内部辺は重み1、境界辺は出発点／到着点の頂点タイプに応じて可変の重みを割り当てる。
• 経路上の微分δ̃を、同じ出発点・到着点で重みが1つ高いすべての経路の和として定義する。
• 双図形における経路ペアのキャンセルを用いてδ̃² = 0を証明し、これはモース理論におけるコボルディズム関係を反映する。
• 特定の要素D̃（重み1の経路の和）に対して、構造方程式δ̃D̃ = D̃∘D̃を、木型および櫛型の双図形で確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフ上の経路代数の組み合わせ論は、境界を持つ多様体上のモース理論をどのように拡張できるか？
• RQ2 境界が存在する状況下で、破壊された経路のモジュライ空間から生じる代数的構造は何か？
• RQ3 経路DGAの微分は、内部および境界の経路フローをどのように反映させることができるか？
• RQ4 双図形設定において、構造方程式δ̃D̃ = D̃∘D̃が成り立つ条件は何か？
• RQ5 この枠組みは、境界付きモノポールフローリングホモロジーにおける新しい不変量の定義に用いることができるか？

主な発見

• 双図形の経路DGAにおける微分δ̃はδ̃² = 0を満たし、複体が適切に定義されることを保証する。
• 木型の双図形では、内部から不安定な頂点へのすべての重み1の経路の和として定義されるD̃に対して、δ̃D̃ = D̃∘D̃が成り立つ。
• 櫛型の双図形では、D̃が内部から安定な頂点への重み1の経路の和である場合、同様の構造方程式が成り立つ。
• δ̃D̃における三つの経路ペアのキャンセルは、D̃∘D̃には存在しないが、境界上の破壊された経路が、二通りの方法で1パラメータ族の端として現れることを反映している。
• この枠組みは、境界付き多様体上のモースホモロジーの組み合わせ的モデルを提供し、不安定な細胞の代数的キャンセルにより細胞ホモロジー複体と整合する。
• 双図形DGAにおける構造方程式は、例えばモノポールフローリングホモロジーにおける手術正確三角形の構成において、higraphレベルで作業することが正当化されることを示している。