[論文レビュー] The complexity of conjugacy, orbit equivalence, and von Neumann equivalence of actions of nonamenable groups

Eusebio Gardella, Martino Lupini|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の非可換な可算離散群に対して、標準的で原子のない確率空間上の自由なエルゴード的または弱混合な測度保存群作用の、共役、軌道同値、およびフォン・ノイマン同値の関係が、Borelでないことを確立する。エルゴード的pmp同値関係のクラス-双対的拡張を用いて、著者たちはこれらの関係が本質的に複雑であることを示し、非可換群に対するハルモスの共役問題を解決するとともに、可換な場合とは明確な二分法を確立する。可換な場合には、このような作用は常に軌道同値である。

ABSTRACT

Building on work of Popa, Ioana, and Epstein--Törnquist, we show that, for every nonamenable countable discrete group $Γ$, the relations of conjugacy, orbit equivalence, and von Neumann equivalence of free ergodic (or weak mixing) measure preserving actions of $Γ$ on the standard atomless probability space are not Borel, thus answering questions of Kechris. This is an optimal and definitive result, which establishes a neat dichotomy with the amenable case, since any two free ergodic actions of an amenable group on the standard atomless probability space are orbit equivalent by classical results of Dye and Ornstein--Weiss. The statement about conjugacy solves the nonamenable case of Halmos' conjugacy problem in Ergodic Theory, originally posed by Halmos in 1956 for ergodic transformations. In order to obtain these results, we study ergodic (or weak mixing) class-bijective extensions of a given ergodic countable probability measure preserving equivalence relation $R$. When $R$ is nonamenable, we show that the relations of isomorphism and von Neumann equivalence of extensions of $R$ are not Borel. When $R$ is amenable, all the extensions of $R$ are again amenable, and hence isomorphic by classical results of Dye and Connes--Feldman--Weiss. This approach allows us to extend the results about group actions mentioned above to the case of nonamenable locally compact unimodular groups, via the study of their cross-section equivalence relations.

研究の動機と目的

• 非可換群の自由エルゴード的および弱混合なpmp作用の共役、軌道同値、およびフォン・ノイマン同値関係のBorel複雑度を特定すること。
• 非可換群に対するエルゴード理論におけるハルモスの共役問題を解決し、共役がBorel関係でないことを示すこと。
• 可換群と非可換群の間で明確な二分法を確立すること。可換群ではすべてのこのような作用が軌道同値であるが、非可換群ではそうではない。
• クロスセクション同値関係を介して、離散群の結果を非可換な局所コンpakトでユニモジュラーな群へと拡張すること。
• これらの同値関係の複雑度が、本質的に群または同値関係の非可換性に起因することを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、固定されたエルゴード的可算pmp同値関係Rのクラス-双対的pmp拡張を研究し、それらを用いて自由エルゴード的pmp群作用を構成する。
• Rが非可換であるとき、そのクラス-双対的拡張上の同型関係およびフォン・ノイマン同値関係がBorelでないことを示す。
• Rの拡張から非可換群Gの作用へのBorel写像を構成することで、非Borel複雑度を群作用へと移す。
• G作用が空間X上で定義されたcocompactなクロスセクションYと、軌道をYに写すBorel関数πを用いる。
• 繊維積X ×_Y Y̅ における誘導作用ζ_Sが、自由的、エルゴード的、pmp的であることを示し、写像S ↦ ζ_S によって共役およびフォン・ノイマン同値が保存されることを示す。
• この方法は、拡張と群作用の標準的パrametrizationに関して、写像S ↦ ζ_S が自然かつBorel的であるという事実に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的で原子のない確率空間上の非可換群の自由弱混合pmp作用の共役関係は、積空間のBorel部分集合か？
• RQ2 非可換群に対して、そのような作用の軌道同値関係およびフォン・ノイマン同値関係も非Borelか？
• RQ3 非可換な場合と可換な場合の間には、すべての自由エルゴード的作用が軌道同値であるという根本的な二分法が存在するか？
• RQ4 Borel的構成を介して、同値関係の複雑度を同値関係から群作用へと移すことができるか？
• RQ5 クラス-双対的pmp拡張は、非Borelな共役および同値関係を持つ作用を生成する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の非可換な可算離散群Γに対して、標準的で原子のない確率空間上の自由弱混合pmp作用の共役関係は、積空間のBorel部分集合でない。
• 同様に、自由エルゴード的pmp作用の共役関係に対しても同様の結論が成り立ち、非可換なハルモスの共役問題の非可換ケースが解決される。
• 軌道同値関係およびフォン・ノイマン同値関係に対しても同様に非Borelであることが示され、それらの本質的複雑度が確立される。
• 基礎となる同値関係Rが非可換であるとき、そのクラス-双対的pmp拡張上の同型関係およびフォン・ノイマン同値関係はBorelでない。
• 可換なRに対しては、すべての拡張が可換であり、したがって同型であるため、可換と非可換な場合の明確な対比が示される。
• 結果は、クロスセクション同値関係を介して、非可換な局所コンパクトでユニモジュラーな群へと拡張可能であり、ガウス作用を用いて自由エルゴード的pmp作用を実現できる。