[論文レビュー] The complexity of parity graph homomorphism: an initial investigation

John Faben, Mark Jerrum|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、入力グラフ $G$ から固定されたターゲットグラフ $H$ へのグラフ準同型の数の偶奇（偶数または奇数）を決定する計算複雑性を調査しており、特に $k=2$（すなわち $ oplus H$-彩色）の場合に焦点を当てる。木の場合に、$ oplus H$-彩色は、$H$ が自己同型を用いて自明なグラフ（空または単一頂点）に還元可能かどうかに応じて、多項式時間で解けるか $ oplus\mathrm{P}$-完全になるかの二分岐定理を確立する。

ABSTRACT

Given a graph G, we investigate the question of determining the parity of the number of homomorphisms from G to some other fixed graph H. We conjecture that this problem exhibits a complexity dichotomy, such that all parity graph homomorphism problems are either polynomial-time solvable or parityP-complete, and provide a conjectured characterisation of the easy cases. We show that the conjecture is true for the restricted case in which the graph H is a tree, and provide some tools that may be useful in further investigation into the parity graph homomorphism problem, and the problem of counting homomorphisms for other moduli.

研究の動機と目的

• 2 を法とするグラフ準同型の数を数える、すなわち $H$-彩色の数の偶奇を決定する計算複雑性の分類。
• 決定問題や数え上げ問題における既知の二分岐定理に類似した、$ oplus H$-彩色の複雑性二分岐が存在するかどうかの調査。
• 特に木の場合に、グラフ自己同型による構造的還元を用いて、$ oplus H$-彩色の tractable なケースを特徴づけること。
• 木を超えて二分岐定理を拡張することを目的とし、一般のグラフに対しても同様の tractability 条件が成り立つと仮定する。

提案手法

• 著者らは、グラフ自己同型を用いて $H$ を「簡約形」に変換する還元システムを導入し、準同型の数の偶奇を保存する。
• 任意のグラフ $H$ に対して、$G$ の $H$-彩色の数の偶奇は、自己同型による還元に対して不変であることを証明する。
• 木の場合、$H$ が自明なグラフ（空または単一頂点）に自己同型を用いて還元可能であれば、$ oplus H$-彩色は P に属する。そうでなければ、$ oplus\mathrm{P}$-完全であることを示す。
• $H$ に特定の構造（ループ付きの端点を持つパス）を含む場合、$ oplus$ IndSet から $ oplus H$-彩色への多項式時間チューリング還元を構築し、そのような $H$ に対して $ oplus\mathrm{P}$-完全性を証明する。
• 自己同型を含まないグラフ $H$ の任意の連結成分が $ oplus\mathrm{P}$-完全な問題をもたらす場合、全問題 $ oplus H$-彩色も $ oplus\mathrm{P}$-完全であることを確立する。
• 木の二分岐定理を森林に拡張し、$ oplus H$-彩色が tractable であるための必要十分条件が、$H$ の簡約形が自明であることであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ oplus H$-彩色問題は、すべてのインスタンスが P に属するか $ oplus\mathrm{P}$-完全になるという複雑性の二分岐を示すか？
• RQ2 木の場合、$ oplus H$-彩色の tractable なケースは、グラフ自己同型による自明なグラフへの還元によって完全に特徴づけられるか？
• RQ3 すべての非自明な木に対して $ oplus H$-彩色問題は $ oplus\mathrm{P}$-完全であるか？ もしそうなら、どのような構造的条件の下で成立するか？
• RQ4 木に対する二分岐定理を一般のグラフに拡張できるか？ つまり、$ oplus H$-彩色が tractable であるのは、$H$ が自明なグラフに還元可能である場合に限るか？
• RQ5 自己同型を含まないグラフ $H$ に $ oplus\mathrm{P}$-完全な成分が存在する場合、全 $ oplus H$-彩色問題も $ oplus\mathrm{P}$-完全になるか？

主な発見

• $H$ が木である場合、$ oplus H$-彩色問題は、$H$ が自己同型を用いて自明なグラフ（空または単一頂点グラフ）に還元可能かどうかに応じて、多項式時間で解けるか $ oplus\mathrm{P}$-完全になる。
• 任意の木 $H$ に対して、$H$ が自己同型を含まず、2 頂点以上持つ場合、$ oplus H$-彩色は $ oplus\mathrm{P}$-完全である。
• グラフ $G$ の $H$-彩色の数を 2 で割った剰余は、$H$ の自己同型による還元に対して不変であり、計算複雑性が保存される。
• $H$ にループ付きの端点を持つパスを含む場合、$ oplus$ IndSet から $ oplus H$-彩色への多項式時間チューリング還元が構築され、そのような $H$ に対して $ oplus\mathrm{P}$-完全性が証明される。
• 一般の自己同型を含まないグラフ $H$ に対して、$H$ の任意の連結成分 $H_1$ が $ oplus H_1$-彩色問題を $ oplus\mathrm{P}$-完全にする場合、全 $ oplus H$-彩色問題も $ oplus\mathrm{P}$-完全である。
• 二分岐定理は森林に対しても拡張可能であり、$ oplus H$-彩色が tractable であるための必要十分条件は、$H$ の簡約形が自明（空または単一頂点）であることである。