[論文レビュー] The computation of one-loop heterotic string threshold corrections for general orbifold models with discrete Wilson lines

Michael Klaput, Christian Paleani|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の離散的ウィルスン線を伴うアーベル的トロイダルオルビフォールド上のヘテロティック弦のコンpactificationにおけるモジュライ依存1ループしきい値補正を計算する一般化された手法を提示する。問題を有理数(α,β,γ,δ)でパラメータ化された積分のクラスに還元することで、著者らは部分的に解析的に解き、一般化されたT双対性に類似した対称性を含むモジュラー対称性構造を導出し、物性論的関連のあるモデルにおけるゲージ結合定数補正の完全な計算を可能にする。

ABSTRACT

We calculate the moduli dependent part of string one-loop threshold corrections to gauge couplings for the heterotic string theory compactified on abelian toroidal orbifolds, allowing for arbitrary discrete Wilson lines. We show that the knowledge of threshold corrections for any such compactification is equivalent to solving a class of integrals. We solve a sub-class of these integrals and show how any model can be mapped onto this class by fractional linear transformations of its fixed plane moduli. Modular symmetries of the final expression are discussed.

研究の動機と目的

• 任意の離散的ウィルスン線を伴うヘテロティック弦コンパクト化におけるモジュライ依存1ループしきい値補正を計算するという長年の未解決問題を解決すること。
• 標準的なPSL(2,Z)モジュラー対称性を破る非ゼロのウィルスン線を伴うすべてのアーベル的トロイダルオルビフォールドモデルに適用可能な一般化されたフレームワークを確立すること。
• しきい値補正の計算を、4つの有理数パラメータ(α,β,γ,δ)で特徴づけられる積分のクラスにマッピングし、体系的な評価を可能にすること。
• 最終的な式のモジュラー対称性群を導出し、標準的なPSL(2,Z)を越えた一般化されたT双対性に類似した対合（involution）を含むこと。
• 任意のこのようなモデルにおけるしきい値補正を構成的かつ解析的に計算するための手続きを提供し、物性論的モデル構築を支援すること。

提案手法

• 問題が対称性群の基本領域上の積分として再定式化され、生成境界条件に関連する1つの分配関数に還元される。
• 固定平面条件は、4つの有理数(α,β,γ,δ)によって完全に特徴づけられる一次不定方程式系として表現され、解くべき積分のクラスを定義する。
• 有理数変換を適用して、一般の(α,β,γ,δ)をα=β=γ=1およびδ∈Zとなる標準形に写像し、積分の部分クラスの解析的解法を可能にする。
• 解法には特殊関数および数論的構成（GCD、LCM、係数C^1_δ(d)およびA^γ_δ(α,β)）が含まれ、結果が算術幾何学と結びつく。
• モジュラー対称性は、一般化されたミラー写像および2つの新しい対合的対称性（T̃およびÛ）を含む部分群の自由積として導出される。これらはT双対性を一般化する。
• 定義域が基本領域であり、被積分関数が既知の対称性群と基本的ブロックを持つ場合、この手法は他の積分に対しても一般化可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の離散的ウィルスン線を伴うアーベル的トロイダルオルビフォールド上のヘテロティック弦コンパクト化における、モジュライ依存部分の1ループゲージしきい値補正をどのように計算できるか？
• RQ2 得られる積分の数学的構造は何か？ そして、解析的評価のための標準形にどのように還元できるか？
• RQ3 離散的ウィルスン線の存在下でどのようなモジュラー対称性が現れ、標準的なPSL(2,Z)対称性をどのように一般化するか？
• RQ4 GCD、LCM、および算術的係数といった数論的概念は、どのように弦しきい値補正の文脈で自然に出現するか？
• RQ5 この手法は、特定のしきい値補正問題を超えて、他の積分クラスに対しても一般化可能か？

主な発見

• 著者らは、α=β=γ=1およびδ∈Zである(α,β,γ,δ)パラメータを持つ積分の部分クラスを解き、オイラー・マスケローニ定数およびガライシャー＝キンケリン定数を含む閉形式の表現を得た。
• (1,1,1,1)の場合の結果は、平坦なラインバンドルのレイ・シンガー解析的 torsion の対数と一致し、深い数学的解釈を示唆する。
• モジュラー対称性群は、一般化されたミラー写像および2つの新しい対合的対称性T̃およびÛを含む部分群の自由積として導出された。これらは小半径と大半径を交換する。
• 係数C^1_δ(d)およびA^γ_δ(α,β)は解の中で自然に現れ、バンドルコホモロジーに関係すると予想されるが、その正確な数学的意味はまだ明確でない。
• 本手法は、離散的ウィルスン線を伴う任意のアーベル的トロイダルオルビフォールドモデルに対して、しきい値補正を構成的かつ解析的に計算するための手続きを提供し、物性論的応用を可能にする。
• 本研究により、素数やGCDといった数論的構造が弦しきい値計算において自然に出現することが明らかになり、より深い数学的背景が存在する可能性を示唆する。