[論文レビュー] The computational complexity of recognising embeddings, and a universal finitely presented torsion-free group

Maurice Chiodo|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2011

semigroups and automata theory被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、入力がすでに torsion-free である場合に同型を保つ、任意の再帰的群提示を torsion-free な再帰的提示に変換する一様なアルゴリズムを提示する。この構成を用いて、普遍的な有限生成 torsion-free 群の存在を証明し、群の埋め込み可能性が $Π^{0}_{2}$-hard、$Σ^{0}_{2}$-hard であり、また $Σ^{0}_{3}$ に属することを示す。さらに、torsion 元の位数の集合が、正確に因子をとることについて閉じた $Σ^{0}_{2}$ 集合であると特定する。

ABSTRACT

We give a uniform construction that, on input of a recursive presentation $P$ of a group, outputs a recursive presentation of a torsion-free group, isomorphic to $P$ whenever $P$ is itself torsion-free. We use this to re-obtain a known result, the existence of a universal finitely presented torsion-free group; one into which all finitely presented torsion-free groups embed. We apply our techniques to show that recognising embeddability of finitely presented groups is $\Pi^{0}_{2}$-hard, $\Sigma^{0}_{2}$-hard, and lies in $\Sigma^{0}_{3}$. We also show that the sets of orders of torsion elements of finitely presented groups are precisely the $\Sigma^{0}_{2}$ sets which are closed under taking factors.

研究の動機と目的

• 任意の再帰的群提示から、入力が torsion-free である場合に同型を保つ torsion-free な再帰的提示への一様で再帰的な変換を構成すること。
• この構成を用いて、普遍的な有限生成 torsion-free 群の存在を再導出すること。
• 一つの有限生成群が別の有限生成群に埋め込まれるかどうかを認識する問題の計算量的複雑性を特定すること。
• 有限生成群における torsion 元の位数の集合を、正確に因子をとることについて閉じた $Σ^{0}_{2}$ 集合として特徴付けること。

提案手法

• 論文は、与えられた再帰的提示から torsion 元を除去する再帰的構成を用い、torsion-freeness を保証する新しい生成元と関係を導入する。
• Higman 風の埋め込み技法を適用し、再帰的プロセスを通じて元の群を torsion-free 群に埋め込む。
• この構成により、元の群が torsion-free である場合、結果の群はそれと同型となり、群論的構造が保存される。
• 計算可能性理論の結果を活用して、埋め込み可能性の複雑性を分析し、$Σ^{0}_{3}$ クラスに属することを示し、$Π^{0}_{2}$ および $Σ^{0}_{2}$ でのハードネスを示す。
• torsion 元の位数の集合を分析し、それが因子をとることについて閉じた $Σ^{0}_{2}$ 集合であることを示し、この特徴付けがタイトであることを証明する。
• 群論的構成と算術階層における定義可能性を組み合わせることで、複雑性の上限と構造的特徴付けを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の再帰的群提示を、入力が torsion-free である場合に同型を保つ torsion-free な再帰的提示に変換する一様で再帰的な変換を構成可能か？
• RQ2 この構成から、普遍的な有限生成 torsion-free 群の存在が導かれるか？
• RQ3 一つの有限生成群が別の有限生成群に埋め込まれるかどうかを決定する問題の計算量的複雑性は何か？
• RQ4 どの正の整数の集合が、有限生成群における torsion 元の位数の集合として現れるか？
• RQ5 torsion 元の位数の集合は、正確に因子をとることについて閉じた $Σ^{0}_{2}$ 集合であるか？

主な発見

• 論文は、再帰的提示から torsion-free な再帰的提示への再帰的かつ一様な写像を構成し、入力が torsion-free である場合には同型となることを示した。
• すべての有限生成 torsion-free 群が埋め込める普遍的な有限生成 torsion-free 群の存在を再確認した。
• 群の埋め込み可能性を認識する問題が $Π^{0}_{2}$-hard、$Σ^{0}_{2}$-hard であり、また $Σ^{0}_{3}$ に属することを示し、算術階層における正確な位置づけを確立した。
• 任意の有限生成群における torsion 元の位数の集合は、因子をとることについて閉じた $Σ^{0}_{2}$ 集合である。
• 逆に、すべての因子をとることについて閉じた $Σ^{0}_{2}$ 集合は、ある有限生成群における torsion 元の位数の集合として現れる。
• これらの結果は、計算可能性理論的手法を用いて、有限生成群における torsion 元の位数の集合の可能なすべての集合を完全に特徴づけたものである。