[論文レビュー] The Conformal Constraint in Canonical Quantum Gravity

Gerard ’t Hooft|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 10被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、計量からドライソン場を共形再パrametrizationによって分離することにより、正準量子重力に対する新しい手法を提案する。これにより、物質とドライソン場の相互作用がゼロのベータ関数をもたらす共形不変な中間理論が得られる。主な結果は、プランクスケールの物理によって決定され、共形不変性によって制約を受ける、結合定数、質量、宇宙定数が固定された離散的かつ計算可能な量子場理論の集合が得られることである。

ABSTRACT

Perturbative canonical quantum gravity is considered, when coupled to a renormalizable model for matter fields. It is proposed that the functional integral over the dilaton field should be disentangled from the other integrations over the metric fields. This should generate a conformally invariant theory as an intermediate result, where the conformal anomalies must be constrained to cancel out. When the residual metric is treated as a background, and if this background is taken to be flat, this leads to a novel constraint: in combination with the dilaton contributions, the matter lagrangian should have a vanishing beta function. The zeros of this beta function are isolated points in the landscape of quantum field theories, and so we arrive at a denumerable, or perhaps even finite, set of quantum theories for matter, where not only the coupling constants, but also the masses and the cosmological constant are all fixed, and computable, in terms of the Planck units.

研究の動機と目的

• 摂動的正準量子重力の再定式化を、計量からドライソン場を共形再パラメータ化によって分離することによって行う。
• 共形異常項のキャンセルを要請することにより、中間理論における共形不変性を強制する。
• 物質ラグランジアンがドライソン場と結合する際にゼロのベータ関数を有する必要があるという制約を導出する。
• すべての物理的パラメータがプランク単位で計算可能であるような、離散的（あるいは有限な）量子場理論の集合を特定する。
• このフレームワークが階層問題および基本定数の不変性に与える影響を検討する。

提案手法

• 計量を $ g_{\mu\nu} = \omega^2 \hat{g}_{\mu\nu} $ と分解し、$ \det(\hat{g}_{\mu\nu}) = -1 $ とすることで、共形因子 $ \omega $ を残りの計量 $ \hat{g}_{\mu\nu} $ から分離する。
• アインシュタイン＝ヒルベルト作用を $ \omega $ と $ \hat{g}_{\mu\nu} $ の言語に書き直し、$ \omega $ の運動項と、共形不変構造を得る。
• $ \omega \to \tilde{\omega} $ のスケーリングにより、ドライソンの運動項をスカラー場に類似させ、$ \tilde{\omega} = i\eta $ のウィック回転を実行して、標準的な場理論の符号表記を回復する。
• 残りの計量 $ \hat{g}_{\mu\nu} $ を固定背景（理想には平坦）とみなすことにより、物質とドライソンの量子理論を簡略化する。
• 結合系の全ベータ関数がゼロであるという条件を課し、量子レベルでの共形不変性を保証する。
• 全有効ラグランジアンが共形不変であることを要請することで、結合定数、質量、宇宙定数に関する制約を導出し、理論空間内に孤立した固定点が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重力を共形的計量分解によって扱う場合、量子場理論にどのような制約が生じるか？
• RQ2 ドライソン場に関する関数積分を計量から分離することで、共形不変な中間理論を得るにはどうすればよいか？
• RQ3 物質結合項が共役系における共形異常をキャンセルするために満たすべき条件は何か？
• RQ4 共形不変性の要請が、結合定数、質量、物理的パラメータが固定された離散的かつ有限な計算可能な量子場理論の集合を生じるか？
• RQ5 このようなフレームワークにおいて、階層問題および基本定数の不変性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 共形不変性の要請により、結合物質－ドライソン系のベータ関数がゼロになる。これにより、すべての結合定数、質量、宇宙定数がプランク単位で離散的かつ計算可能な値に制約される。
• 許容される量子場理論の集合は可算的、あるいは有限である。ベータ関数の零点が理論空間内に孤立点として存在するためである。
• 宇宙定数はプランク単位で $ \tilde{\Lambda} \approx 10^{-122} $ と予測され、観測値と整合的であるが、この階層はフレームワーク内では未だ説明されていない。
• 弱結合領域では $ U(1) $ ゲージ場が禁止される。これは正の $ \beta $-関数によるものであり、プランクスケールの質量を持つ磁気モノポールが存在する可能性を示唆する。
• このフレームワークは、微細構造定数や陽子－電子質量比といった基本定数が真に一定であり、空間的・時間的変動が観測不能であると予測する。
• 超対称性は必要ではないが、制約された理論空間内で非自明なモデルを構築するには、その数学的構造が依然として有用である可能性がある。