[論文レビュー] The connectivity at infinity of a manifold and $L^{q,p}$-Sobolev inequalities

Stefano Pigola, Alberto G. Setti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非負のリッチ曲率の負の部分がスペクトル的意味で小さい限り、複数の端を持つ完全なリーマン多様体は、$2 \leq p$ および $q \leq p^*$ の場合に $L^{q,p}$-ソボレフ不等式を満たせないことを確立している。証明は $p$-調和関数のポテンシャル論的解析とキャッチョッポリ型不等式に依拠し、多様体が複数の端を持ち、曲率条件の下でソボレフ不等式を満たすと仮定すると矛盾が生じる。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to give a self-contained proof that a complete manifold with more than one end never supports an $L^{q,p}$-Sobolev inequality ($2 \leq p$, $q\leq p^{*}$), provided the negative part of its Ricci tensor is small (in a suitable spectral sense). In the route, we discuss potential theoretic properties of the ends of a manifold enjoying an $L^{q,p}$-Sobolev inequality.

研究の動機と目的

• 完全なリーマン多様体上での $L^{q,p}$-ソボレフ不等式の成立に対する位相的障害を特定すること。
• 多様体の端の数が $L^{q,p}$-ソボレフ不等式とリッチ曲率の上限とどのように関係するかを調査すること。
• 既知の結果（無限遠での連結性とソボレフ不等式）を $L^{2^*,2}$ の場合に限らない一般の $L^{q,p}$-ソボレフ不等式へと拡張すること。
• $L^{q,p}$-コホロロジー、曲率の減衰、および複数の端を持つ多様体の無限遠における幾何学的性質との関連を確立すること。

提案手法

• 複数の端を持つ多様体上の $p$-調和関数を分析し、その勾配の挙動を用いてキャッチョッポリ型不等式を導出する。
• 関数 $\varphi_\delta = \min\{|\nabla u|^{p/2}/\delta, 1\}$ を用いた切り詰め技術により、テスト関数を $M_+$ から全多様体へ拡張する。
• リッチ曲率のスペクトル的条件を適用：$\lambda_1(-\Delta - q(x)) \geq 0$ であり、$q \geq 0$ が $L^2$-意味で小さい。
• 勾配が制御された切り捨て関数 $\eta_R$ を用い、$|\nabla u|^{p-2}|\nabla|\nabla u||^2$ の減衰推定を得る。
• カラビ–ヤウの体積成長定理を適用し、スペクトル的リッチ曲率条件の下で $\operatorname{vol}(M) < \infty$ のとき矛盾を導く。
• $L^{q,p}$-ソボレフ不等式とスペクトル的リッチ曲率条件を組み合わせ、$q(x) \equiv 0$ を示し、非負のリッチ曲率を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なリーマン多様体が2つ以上の端を持つ場合、$2 \leq p$ および $q \leq p^*$ のとき $L^{q,p}$-ソボレフ不等式を満たすことができるか？
• RQ2 負のリッチ曲率のスペクトル的ノルムが $L^{q,p}$-ソボレフ不等式の成立を妨げる役割を果たすか？
• RQ3 無限遠における幾何学的性質、特に端の数が $L^{q,p}$-ソボレフ不等式の成立にどのように影響するか？
• RQ4 $L^{q,p}$-コホロロジーと $p$-調和関数は、多様体の位相的性質と曲率をどの程度制約するか？
• RQ5 どのような曲率条件の下で、複数の端を持つ多様体は $L^{q,p}$-ソボレフ不等式を満たさなくなるか？

主な発見

• 非負のリッチ曲率の負の部分がスペクトル的意味で小さい限り、2つ以上の端を持つ完全な多様体は、$2 \leq p$ および $q \leq p^*$ の場合に $L^{q,p}$-ソボレフ不等式を満たせない。
• 証明は、このような条件下で複数の端の存在が、体積の有限性とカラビ–ヤウの定理により矛盾を引き起こすことを示している。
• スペクトル的条件 $\lambda_1(-\Delta - q(x)) \geq 0$ は、多様体が $L^{q,p}$-ソボレフ不等式を満たし、複数の端を持つ場合、$q(x) \equiv 0$ を意味する。
• $q(x)$ の消滅により $\operatorname{Ric} \geq 0$ が導かれ、これと $L^{q,p}$-ソボレフ不等式を組み合わせると線形体積成長が得られ、非定数の $p$-調和関数に対して $|\nabla u|^p$ の有限性と矛盾する。
• $L^{q,p}$-ソボレフ不等式により $|\nabla u|^{p-2}|\nabla|\nabla u||^2$ が可積分であることが示され、キャッチョッポリ不等式により $|\nabla u|$ が $M_+$ の各成分上で定数であることが強制される。
• 矛盾を避ける唯一の方法は、多様体が無限遠で連結であることであるため、結果として複数の端を持つ多様体は、この曲率条件の下ではこのような不等式を満たせないことが排除される。