[論文レビュー] The Contact Structure in the Space of Light Rays

A. Bautista, Alberto Ibort+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

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ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック幾何とコイソトロピック還元を活用することで、時空内の光線の空間に標準的な接触構造を確立する。強因果的時空に対して、余接 bundle 上のシンプレクティック構造の還元を通じて、光線空間が自然に接触構造を引き継ぐことが示され、因果性と光線空間の幾何的不変量との関係が結ばれる。

ABSTRACT

The natural topological, differentiable and geometrical structures on the space of light rays of a given spacetime are discussed. The relation between the causality properties of the original spacetime and the natural structures on the space of light rays are stressed. Finally, a symplectic geometrical approach to the construction of the canonical contact structure on the space of light rays is offered.

研究の動機と目的

• 時空内の光線空間に内在する位相的・微分的・幾何的構造を体系的に記述すること。
• 時空の因果的性質とその光線空間に誘導される構造との関係を明確にすること。
• 光線空間上の標準接触構造をシンプレクティック幾何的構成によって提供すること。
• 光線空間が時空計量の特定の代表元に依存せず、その共形類にのみ依存することを示すこと。
• 接触構造が、時空の余接 bundle 上のシンプレクティック構造のコイソトロピック還元によって自然に生じることを確立すること。

提案手法

• 余接 bundle $T^*M$ 上の標準的シンプレクティック構造を用い、計量によって誘導されるレジェンドル変換を介して、$\widehat{T}M$ 上の $\omega_{\mathbf{g}} = \widehat{\mathbf{g}}^*\omega$ に引き戻す。
• 未来向きの光的ベクトル $\mathbb{N}^+ \subset \widehat{T}M$ を、$\omega_{\mathbf{g}}$ に関してコイソトロピックな超曲面として特定する。
• コイソトロピック還元を $\mathbb{N}^+$ に適用し、特徴的分布 $K = \ker \omega_{\mathbf{g}}|_{\mathbb{N}^+}$ による商が、スケーリングされた光的測地線空間 $\mathcal{N}_s$ に同相なシンプレクティック多様体を導くことを示す。
• 射影 $\pi: \mathbb{N}^+ \to \mathcal{N}_s$ と、$\pi_*$ の核が $K$ であるという事実を用い、商 $\mathcal{N}_s$ 上に接触構造を構成する。
• 定理 5.3 を適用し、$H = \ker \theta$ の商として定義される $\mathcal{N}_s$ 上の超平面分布 $H^N$ が接触構造を誘導することを示す。
• 特徴的分布 $K$ が、$\mathbb{N}^+$ に制限された測地線スプライト $X_{\mathbf{g}}$ によって生成されることを示し、光的測地線の力学と還元プロセスとの関連を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 光線空間上の標準接触構造は、余接 bundle のシンプレクティック幾何からどのように生じるか？
• RQ2 時空の因果的構造とその光線空間上の幾何的構造との間の明確な関係は何か？
• RQ3 なぜ光線空間は時空計量の共形変換に対して不変か？
• RQ4 $\mathbb{N}^+$ 上のシンプレクティック構造のコイソトロピック還元が、スケーリングされた光的測地線空間上でどのように接触構造を生じるか？
• RQ5 強因果的条件が、$\mathcal{N}_s$ が滑らかな多様体であり、その上に還元されたシンプレクティック形式が正しく定義可能であることを保証するのはどのような仕組みか？

主な発見

• 光線空間 $\mathcal{N}_{\mathbf{g}}$ は、時空計量の共形類にのみ依存し、特定の代表元には依存しない。
• 特徴的分布 $K$ は、$\mathbb{N}^+$ に制限された測地線スプライト $X_{\mathbf{g}}$ の制限によって生成され、これは光的測地線の再パrametrization に対応する。
• $\mathbb{N}^+/K$ は自然にスケーリングされた光的測地線空間 $\mathcal{N}_s$ に同定され、コイソトロピック還元によって $\mathcal{N}_s$ に標準的シンプレクティック構造が誘導される。
• 強因果的時空に対して、$\mathcal{N}_s$ は滑らかな多様体であり、その上での還元されたシンプレクティック形式は正しく定義され、一意的である。
• $\mathcal{N}_s$ 上の超平面分布 $H^N$ は、$H = \ker \theta$ の商として得られ、$\mathcal{N}_s$ 上に標準的接触構造を定義する。
• $\mathcal{N}_s$ 上の接触構造は、スカイのリーマン的同値移動を用いた因果関係の幾何的定式化の基礎を提供し、ロウの予想を一般化する。