[論文レビュー] The convex dimension of hypergraphs and the hypersimplicial Van Kampen-Flores Theorem

Leonardo Martínez-Sandoval, Arnau Padrol|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、完全k一様超グラフの凸次元を完全に特定し、n ≥ 2k + 2のとき2k、n ∈ {2k−1, 2k, 2k+1}のときn−2、n ≤ 2k−2のとき2n−2kであることを証明している。著者らは、ハイパーシンプレックス∆n,kの頂点を保存するアフィン射影を用いて問題を再定式化し、van Kampen-Flores定理のハイパーシンプレックス的一般化を提示し、ハイパーシンプレックスのi-スケルトンを保存する射影の完全な特徴付けを提供している。

ABSTRACT

The convex dimension of a $k$-uniform hypergraph is the smallest dimension $d$ for which there is an injective mapping of its vertices into $\mathbb{R}^d$ such that the set of $k$-barycenters of all hyperedges is in convex position. We completely determine the convex dimension of complete $k$-uniform hypergraphs, which settles an open question by Halman, Onn and Rothblum, who solved the problem for complete graphs. We also provide lower and upper bounds for the extremal problem of estimating the maximal number of hyperedges of $k$-uniform hypergraphs on $n$ vertices with convex dimension $d$. To prove these results, we restate them in terms of affine projections that preserve the vertices of the hypersimplex. More generally, we provide a full characterization of the projections that preserve its $i$-dimensional skeleton. In particular, we obtain a hypersimplicial generalization of the linear van Kampen-Flores theorem: for each $n$, $k$ and $i$ we determine onto which dimensions can the $(n,k)$-hypersimplex be linearly projected while preserving its $i$-skeleton. Our results have direct interpretations in terms of $k$-sets and $(i,j)$-partitions, and are closely related to the problem of finding large convexly independent subsets in Minkowski sums of $k$ point sets.

研究の動機と目的

• すべてのkおよびnについて、完全k一様超グラフK(k)nの凸次元を特定すること。
• 凸次元dであるk一様超グラフにおけるハイパーエッジの最大数に対するタイトな上限を確立すること。
• ハイパーシンプレックスに一般化された線形van Kampen-Flores定理を、∆n,kのi-スケルトンを保存する射影を特徴付けることによって得ること。
• 凸埋め込みと離散幾何学におけるポイントセットのミンコフスキー和、およびk-セットとの関係を結ぶこと。
• 高次元配置における凸位置に関連する凸組合せ最適化および極値組合せ論における未解決問題を解消すること。

提案手法

• 超グラフの凸埋め込みを、ハイパーシンプレックス∆n,kの頂点を厳密に保存するアフィン射影に再定式化すること。
• Zieglerの射影補題とSanyalの枠組みを用いて、射影が∆n,kのi-スケルトンを保存する条件を分析すること。
• ∆n,kがそのi-スケルトンを保存する射影を許容する最小次元d(n,k,i)を特徴付けること。
• 完全k一様超グラフの凸埋め込みと、∆n,kの0-スケルトン（頂点）を保存する射影との間の双対性を確立すること。
• 多面体幾何学とミンコフスキー和構造を活用し、凸埋め込みとk-セット、および(i,j)-分割との関係を結ぶこと。
• 縮小されたplabic図とグラスマンニアンのストラティフィケーションの結果を応用し、理論的枠組みを支援すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのnおよびkについて、完全k一様超グラフK(k)nの正確な凸次元は何か？
• RQ2 どの次元dにおいて、(n,k)-ハイパーシンプレックスがそのi-スケルトンを保存する線形射影を許容するか？
• RQ3 凸次元dであるk一様超グラフにおけるハイパーエッジ数の極値問題は、nおよびkとともにどのようにスケーリングするか？
• RQ4 凸埋め込みとkポイントセットのミンコフスキー和の構造との関係は何か？
• RQ5 van Kampen-Flores定理は、トポロジカル的または組合せ論的にハイパーシンプレックスに一般化可能か？

主な発見

• 2 ≤ k ≤ n−2のとき、K(k)nの凸次元はn ≥ 2k + 2のとき2k、n ∈ {2k−1, 2k, 2k+1}のときn−2、n ≤ 2k−2のとき2n−2kである。
• k = 1のとき、cd(K(1)n) = 1（n = 2のとき）、n ≥ 3のとき2。k = n−1のとき、cd(K(n−1)n) = 2（n ≥ 3のとき）。
• ∆n,kがそのi-スケルトンを保存する射影を許容する最小次元d(n,k,i)は、n ≥ 2k+2i+2のとき2k+2i、n ≤ 2k−2i−2のとき2n−2k+2i、2k−2i−1 ≤ n ≤ 2k+2i+1かつk ∈ An,iのときn−1、それ以外のときはn−2である。
• この結果は、ハイパーシンプレックス的拡張としての線形van Kampen-Flores定理を提供し、ハイパーシンプレックスのスケルトンを保存する射影の最小次元を特定している。
• 特徴付けは、nポイントセットのすべてのk-バーゲンターがk-セットポリトープの頂点であるための必要十分条件が、K(k)nの凸次元がその次元で実現されていることに他ならないことを示している。
• この枠組みは、特にマトロイドポリトープを含む、関連するハイパーエッジポリトープを介して他の超グラフへ拡張可能であり、ミンコフスキー和および凸独立性に関する極値問題と関連している。