[論文レビュー] The convexity of inclusions and gradient's concentration for Lamé systems with partially infinite coefficients

Yuanyuan Hou, Hongjie Ju+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、部分的に無限大の係数を有するラメ系でモデル化された複合材料における応力集中を調査し、勾配の爆発挙動における相対的凸性の役割に注目する。エネルギー法と反復推定を用いて、包摂部が部分的に平坦な境界（非厳密凸性）を有する場合、期待される爆発とは異なり勾配は一様に有界であることが判明した。一方、$ m $ 次の相対的凸性を有する場合、爆発率はすべての次元において凸性の次数に定量的に関連している。

ABSTRACT

It is interesting to study the stress concentration between two adjacent stiff inclusions in composite materials, which can be modeled by the Lamé system with partially infinite coefficients. To overcome the difficulty from the lack of maximum principle for elliptic systems, we use the energy method and an iteration technique to study the gradient estimates of the solution. We first find a novel phenomenon that the gradient will not blow up any more once these two adjacent inclusions fail to be locally relatively strictly convex, namely, the top and bottom boundaries of the narrow region are partially "flat". This is contrary to our expectation. In order to further explore the blow-up mechanism of the gradient, we next investigate two adjacent inclusions with relative convexity of order m and finally reveal an underlying relationship between the blow-up rate of the stress and the order of the relative convexity of the subdomains in all dimensions.

研究の動機と目的

• 密に配置された繊維強化複合材料における高対比応力集中の分析を目的とする。
• ラメ系における勾配の爆発挙動に及ぼす隣接する包摂部間の相対的凸性の役割を調査すること。
• 楕円型系において最大原理が欠如するという課題を、新規のエネルギーに基づく反復技法の開発によって解決すること。
• 勾配の爆発率と包摂部の相対的凸性次数との間の定量的関係を確立すること。
• 包摂部間の狭い領域に部分的な平坦性が存在する場合、勾配の爆発が防がれるという、応力集中解析における新規な現象を示すこと。

提案手法

• 部分的に無限大の係数を有するラメ系の解の勾配を推定するために、エネルギー法と反復技法を組み合わせる。
• パラメータ $ t $ の二進分解を用いて、細い領域における勾配の増大を制御する重み付きエネルギー関数 $ F(t) $ を定義する。
• $ F(t_i) $ と $ F(t_{i+1}) $ を含む再帰的不等式を適用し、$ k $ 回の反復によって減衰推定を導出する。ここで $ t_i = \delta + 2c_2 i |z'|^m $ である。
• 層ポテンシャル分解と境界推定を用いて、$ L^2 $ エネルギーと系の作用素ノルムを介して勾配の $ L^\infty $ ノルムを制御する。
• 勾配 $ \nabla w $ と $ \nabla v^l $ の推定を組み合わせることで、点ごとの $ |\nabla v| $ の有界性を確立し、最終的な勾配有界性に至る。
• 狭い領域において、鍵となる推定 $ |\nabla v(x)| \leq \frac{C|\psi(x', \varepsilon + h_1(x'))|}{\varepsilon + |x'|^m} + C\|\psi\|_{C^2(\partial D_1)} $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 包摂部が厳密凸でないが、部分的に平坦な境界を有する場合、特にその上下面に正の測度の平坦部分を有する場合、ラメ系における解の勾配はどのように変化するか？
• RQ2 隣接する二つの包摂部間の $ m $ 次の相対的凸性は、応力勾配の爆発率にどのように影響するか？
• RQ3 楕円型系において最大原理が欠如する状況において、エネルギーに基づく反復法を用いることで、鋭い勾配推定を得られるか？
• RQ4 高対比複合材料における勾配の爆発率は、包摂部境界の幾何的凸性によって普遍的に決定されるか？
• RQ5 包摂部間の距離が 0 に近づく条件下で、勾配が一様に有界となる幾何的条件は何か？

主な発見

• 二つの隣接包摂部間の狭い領域の上下面に、正の測度の平坦部分が存在する場合、解の勾配は、包摂部間隔 $ \varepsilon $ に依存せず、一様に有界である。
• 相対的凸性次数 $ m $ を有する包摂部に対しては、勾配の爆発率が $ m $ に定量的に関連しており、次元 $ d \geq 4 $ では $ \varepsilon^{-1} $、$ d=3 $ では $ |\varepsilon \log \varepsilon|^{-1} $、$ d=2 $ では $ \varepsilon^{-1/2} $ のスケーリングに従う。これはスカラー系の結果と整合的である。
• 部分的平坦性下での勾配有界性という新規な現象は、高対比複合材料における古典的期待である爆発とは矛盾する。
• エネルギーに基づく反復法により、ラメ系における最大原理の欠如を克服し、鋭い点ごとの勾配推定を達成した。
• 最終的な勾配有界性は、$ |\nabla v(x)| \leq \frac{C|\psi(x', \varepsilon + h_1(x'))|}{\varepsilon + |x'|^m} + C\|\psi\|_{C^2(\partial D_1)} $ の形をとり、距離と凸性次数の両方の依存性を捉えている。
• 本研究により、相対的凸性が、複合材料における応力集中の深刻さを決定づける重要な幾何的要因であることが確立された。