[論文レビュー] The Coxeter element and the branching law for the finite subgroups of SU(2)

Bertram Kostant|ArXiv.org|Nov 7, 2004

Advanced Algebra and Geometry被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、SU(2) の有限部分群に対する分岐則を完全に解明する。SU(2) の既約表現を $ \widetilde{\rho} $ に制限した際の表現の重複度系列 $ m(t)_i $ を、有理関数 $ \frac{z(t)_i}{(1-t^a)(1-t^b)} $ の形に表現し、ここで $ z(t)_i $ は Coxeter 要素による軌道とヘイゼンベルク系 $ \Phi \subset \Delta_+ $ の交点から定まる多項式である。主な結果は定理 1.13 であり、$ z(t)_i $ が軌道構造と根データに基づき明示的に与えられ、その係数は 0 または 1 であり、$ z(1)_i = 2d_i $ を満たす。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a finite subgroup of SU(2) and let $\widetilde Γ = \{γ_i\mid i\in J\}$ be the unitary dual of $Γ$. The unitary dual of SU(2) may be written $\{π_n\mid n\in \Bbb Z_+\}$ where $dim π_n = n+1$. For $n\in \Bbb Z_+$ and $j\in J$ let $m_{n,j}$ be the multiplicity of $γ_j$ in $π_n|Γ$. Then we collect this branching data in the formal power series, $m(t)_j = \sum_{n=0}^{\infty}m_{n,j} t^n$. One shows that there exists a polynomial $z(t)_j$ and known positive integers $a,b$ (independent of $j$) such that $m(t)_j = {z(t)_j \over (1-t^a)(1-t^b)}$. The problem is the determination of the polynomial $z(t)_j$. If $o\in J$ is such that $γ_o$ is the trivial representation, then it is classical that $z(t)_o = 1 +t^h$ for a known integer $h$. The problem reduces to case where $γ_j$ is nontrivial. The McKay correspondence associates to $Γ$ a complex simple Lie algebra $\g$ of type A-D-E. We explicitly determine $z(t)_j$ for $j\in J-\{o\}$ using the orbits of a Coxeter element on the set of roots of $\frak{g}$. Mysteriously the polynomial $z(t)_j$ has arisen in a completely different context in some papers of Lusztig. Also Rossmann has recently shown that the polynomial $z(t)_j$ yields the character of $γ_j$.

研究の動機と目的

• SU(2) の既約表現を有限部分群 $ \Gamma \subset SU(2) $ に制限した際の分解を扱い、特に $ \gamma_i \in \widehat{\Gamma} $ が $ \pi_n|\Gamma $ に現れる重複度 $ m_{n,i} $ を特定する。
• すべての $ i \in I_{\text{ext}} $ に対して、生成関数 $ m(t)_i = \sum_{n=0}^\infty m_{n,i} t^n $ の計算問題を解決する。特に非自明な $ i \in I $ に注目する。
• 従来の研究で暗黙的であった有理式 $ m(t)_i = \frac{z(t)_i}{(1-t^a)(1-t^b)} $ における多項式 $ z(t)_i $ の簡素化および明示的表現を提供する。
• Coxeter 要素 $ \sigma $ が根系を整理し、軌道構造を通じて表現論的データとリー理論的データを結びつける役割を明確にする。
• ヘイゼンベルク系 $ \Phi \subset \Delta_+ $ と $ z(t)_i $ の係数との直接的な関係を確立する。特に特殊ノード $ i_* $ に対して注目する。

提案手法

• SU(2) の有限部分群 $ \Gamma \subset SU(2) $ を、型 $ A $, $ D $, $ E $ の複素単純リー代数 $ \mathfrak{g} $ にマッピングする McKay 対応を用いる。$ \widehat{\Gamma} $ は拡張されたディンキン図のノードによってインデックスづけられる。
• Coxeter 要素 $ \sigma $ を根系 $ \Delta $ に作用する巡回群の生成元として定義し、$ \sigma $-軌道のサイズは $ h $（Coxeter 数）に等しい。
• ヘイゼンベルク系 $ \Phi = \{ \varphi \in \Delta_+ \mid (\psi, \varphi) > 0 \} $ を定義する。ここで $ \psi $ は最高根であり、$ \text{card}(\Phi) = 2h - 3 $ である。これは構成の中心的役割を果たす。
• 多項式 $ z(t)_i $ を $ \sum_{\varphi \in \Phi^i} t^{n(\varphi)} $ として構成する。ここで $ \Phi^i = \Phi \cap (Z \cdot \beta_i)_+ $ であり、$ n(\varphi) $ は $ \sigma^{n(\varphi)/2} $ または $ \sigma^{(n(\varphi)-1)/2} $ が $ \varphi $ を $ \beta_i $ に写す最小の正の整数である（偶奇に応じて異なる）。
• 軌道分解 $ \Delta_+ = \sqcup_{i \in I} (Z \cdot \beta_i)_+ $ と、$ (Z \cdot \beta_i)_+ $ と $ \{0,1,\dots,g-1\} $ または $ \{1,\dots,g\} $ 間の双対性を用いて $ n(\varphi) $ をパrameter化する。
• 恒等式 $ \sigma^g = \kappa $（Weyl 群の長元）を適用し、対称性を分析し、特に $ i_* $ における特異な振る舞いを特定する。特に $ z(t)_{i_*} $ の $ t^g $ の係数が 2 であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成関数 $ m(t)_i = \frac{z(t)_i}{(1-t^a)(1-t^b)} $ における多項式 $ z(t)_i $ の明示的形は何か？ これは $ \pi_n|\Gamma $ における $ \gamma_i $ の重複度に対応する。
• RQ2 Coxeter 要素 $ \sigma $ の根系 $ \Delta $ 上の軌道が、$ z(t)_i $ の係数にどのように寄与するか？
• RQ3 定義 $ (\psi, \varphi) > 0 $ によって与えられるヘイゼンベルク系 $ \Phi \subset \Delta_+ $ は、$ z(t)_i $ の構成において果たす役割は何か？
• RQ4 $ z(t)_{i_*} $ の $ t^g $ の係数が 2 である理由は何か？ 他のすべての係数は 0 または 1 であり、これはリー代数 $ \mathfrak{g} $ の構造とどのように関係するか？
• RQ5 特殊ノード $ i_* $（$ D/E $ では分岐点、$ A $ では中点）が $ z(t)_{i_*} $ の形に与える影響は何か？

主な発見

• 重複度の生成関数は $ m(t)_i = \frac{z(t)_i}{(1-t^a)(1-t^b)} $ で与えられ、ここで $ a = 2d_{i_*} $、$ b $ は $ ab = 4|F| $ を満たし、$ z(t)_i $ は次数が $ h $ 未満の多項式である。
• $ i \neq i_* $ の場合、$ z(t)_i = \sum_{\varphi \in \Phi^i} t^{n(\varphi)} $ であり、すべての係数は 0 または 1 であるため、$ z(1)_i = 2d_i $ が成り立つ。
• $ i = i_* $ の場合、$ z(t)_{i_*} = 2t^g + \sum_{\varphi \in \Phi^{i_*}, \varphi \neq \psi} t^{n(\varphi)} $ であり、$ t^g $ の係数は 2、他の係数は 0 または 1 であり、$ z(1)_{i_*} = 2d_{i_*} = a $ である。
• 集合 $ \Phi^i $ の濃度は $ 2d_i $ であるため、$ \text{card}(\Phi^i) = 2d_i $ であり、表現論と根系幾何学の間に深い関係があることが確認される。
• $ z(t)_{i_*} $ は $ t^g $ を中心として対称的であり、$ z(t)_{i_*} = t^{g-a+2} + \cdots + 2t^g + \cdots + t^{g+a-2} $ の形を取る。これは $ \sigma^g = \kappa $ による自己双対性を反映している。
• 特に $ \Delta $ 上の $ \sigma $ の軌道構造、特に分解 $ \Delta_+ = \sqcup_{i \in I} (Z \cdot \beta_i)_+ $ により、$ n(\varphi) $ は一意に定まり、$ z(t)_i $ は $ \sigma $-軌道と $ \Phi $ の交点によって完全に決定される。