[論文レビュー] The CPT Group in the de Sitter Space

В. В. Варламов|ArXiv.org|Jun 24, 2004

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、クリフォード代数の自己同型群を用いて、de Sitter空間 $\mathbb{R}^{4,1}$ におけるディラック場のCPT群構造を調査する。de Sitter空間におけるCPT群がミンコフスキー時空におけるCPT群と同型であることを示し、有限群構造 $\operatorname{Ext}(C\kern-1.99997pt\ell_{4,1}) \simeq \overset{\ast}{\mathbb{Z}}_4 \otimes \mathbb{Z}_2$ を確立し、高スピン場における離散対称性の定義に関する矛盾を解消する。

ABSTRACT

$P$-, $T$-, $C$-transformations of the Dirac field in the de Sitter space are studied in the framework of an automorphism set of Clifford algebras. Finite group structure of the discrete transformations is elucidated. It is shown that $CPT$ groups of the Dirac field in Minkowski and de Sitter spaces are isomorphic.

研究の動機と目的

• 相対論的量子場理論における高スピン場に対する離散対称性の定義の不整合を解消すること。
• 相対論的波動方程式に依存せずに、$P$、$T$、$C$、および $CPT$ 変換の整合的で代数的な枠組みを提供すること。
• クリフォード代数自己同型を用いて、ミンコフスキー時空からde Sitter空間 $\mathbb{R}^{4,1}$ へのCPT群形式主義を拡張すること。
• 特にディラック場に関して、de Sitter空間における離散対称性の有限群構造を明確にすること。
• ミンコフスキー時空とde Sitter時空におけるディラック場のCPT群の同型性を確立すること。

提案手法

• de Sitter空間における離散対称性を定義するために、クリフォード代数 $C\kern-1.99997pt\ell_{4,1}$ の自己同型集合を用いる。
• ディラック行列の代数的構造から、生成群 $\operatorname{Ext}(C\kern-1.99997pt\ell_{4,1}) = \{\mathbf{I}, \omega, \gamma_{34}, \gamma_{125}, \gamma_{123}, \gamma_{45}, \gamma_{124}, \gamma_{35}\}$ を構成する。
• 行列の共役作用および転置則を用いて、$C$、$P$、$T$、$CPT$ および関連自己同型に対応する行列を同定する。
• CPT群の乗法表を導出し、その同型型が $\overset{\ast}{\mathbb{Z}}_4 \otimes \mathbb{Z}_2$ であることを特定する。
• クリフォード代数 $C\kern-1.99997pt\ell_{4,1}$ のスピン基底を用いて、自己同型の明示的行列表現を計算する。
• de Sitter群 $O(4,1)$ の普遍被覆が、CPT群を含む中心拡大として実現されることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 de Sitter空間 $\mathbb{R}^{4,1}$ におけるディラック場のCPT変換の有限群構造は何か？
• RQ2 de Sitter空間における $P$、$T$、$C$、$CPT$ 変換は、クリフォード代数 $C\kern-1.99997pt\ell_{4,1}$ の自己同型群とどのように関係するか？
• RQ3 de Sitter空間におけるCPT群は、ミンコフスキー時空におけるCPT群と同型か？
• RQ4 スピン基底は、$\mathbb{R}^{4,1}$ におけるCPT自己同型を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 de Sitter群の普遍被覆は、CPT群構造とどのように関係するか？

主な発見

• de Sitter空間 $\mathbb{R}^{4,1}$ におけるディラック場のCPT群は、ミンコフスキー時空におけるCPT群と同型である。
• de Sitter空間におけるCPT群は $\overset{\ast}{\mathbb{Z}}_4 \otimes \mathbb{Z}_2$ と同型であり、明示的な生成子 $\mathbf{I}, \omega = \gamma_{12345}, \gamma_{34}, \gamma_{125}, \gamma_{123}, \gamma_{45}, \gamma_{124}, \gamma_{35}$ を持つ。
• 自己同型 $\mathcal{A} \mapsto \mathcal{A}^\star$ は、$C\kern-1.99997pt\ell_{4,1}$ の擬スカラー $\omega = \gamma_{12345}$ によって表現される。
• 行列 $\gamma_{34}$ は反自己同型 $\mathcal{A} \mapsto \widetilde{\mathcal{A}}$ を実装し、$\gamma_{123}$ は擬自己同型 $\mathcal{A} \mapsto \overline{\mathcal{A}}$ を実装する。
• 完全なCPT群 $C^{-,-,+,-,+,-,+}$ はディラック群 $G(4,1)$ の部分群であり、$\overset{\ast}{\mathbb{Z}}_4 \otimes \mathbb{Z}_2 \otimes \mathbb{Z}_2$ と同型である。
• de Sitter群 $O(4,1)$ の普遍被覆は、$\mathbf{Pin}^{-,-,+,-,+,-,+}(4,1) \simeq \frac{\mathbf{Spin}_+(4,1) \odot C^{-,-,+,-,+,-,+}}{\mathbb{Z}_2}$ として実現される。