[論文レビュー] The Crepant Resolution Conjecture for 3-dimensional flags modulo an involution

W. D. Gillam|ArXiv.org|Aug 6, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{C}^3$ のフラッグ多様体 $F$ に対する $\mathbb{Z}_2$-作用が非退化な双線形形式から誘導される場合の、$[F/\mathbb{Z}_2]$ というオルビフォールドに対して、Crepant Resolution Conjecture (CRC) を検証する。そのために、量子パラメータを $-1$ に設定し、変数の線形変換および解析接続を施した後、オルビフォールドの genus-zero Gromov-Witten ポテンシャルがその crespant 解消 $Y$ のそれと一致することを示す。主な結果は、これらの変換の下でポテンシャル関数が明示的に一致することであり、3点不変量の計算と WDVV 方程式および除数公理の利用によって裏付けられる。

ABSTRACT

After fixing a non-degenerate bilinear form on a vector space V we define an involution of the manifold of flags F in V by taking a flag to its orthogonal complement. When V is of dimension 3 we check that the Crepant Resolution Conjecture of J. Bryan and T. Graber holds: the genus zero (orbifold) Gromov-Witten potential function of [F / Z_2] agrees (up to unstable terms) with the genus zero Gromov-Witten potential function of a crepant resolution Y of the quotient scheme F / Z_2, after setting a quantum parameter to -1, making a linear change of variables, and analytically continuing coefficients. The crepant resolution Y (a hypersurface in the Hilbert scheme Hilb^2 P^2) is the projectivization of a novel rank 2 vector bundle over P^2.

研究の動機と目的

• 非退化な双線形形式から誘導される $\mathbb{Z}_2$-作用を伴う $\mathbb{C}^3$ のフラッグ多様体 $F$ に対するオルビフォールド $[F/\mathbb{Z}_2]$ における Crepant Resolution Conjecture (CRC) の検証。
• Chen-Ruan 係数コホロジーとオルビフォールド安定写像を用いて、オルビフォールド $[F/\mathbb{Z}_2]$ の genus-zero Gromov-Witten ポテンシャルの計算。
• $F/\mathbb{Z}_2$ の crespant 解消 $Y$ を、Hilbert 棄次元 $\mathrm{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ 内の $\mathbb{P}^1$-バンドルとして構成し、記述すること。
• 量子コホロジー環の同型を、変数の線形変換とパラメータの特殊化により $Y$ と $[F/\mathbb{Z}_2]$ 間に確立すること。

提案手法

• フラッグ多様体の $\mathbb{Z}_2$-不変コホロジーと固定点集合のコホロジーを用いて、$[F/\mathbb{Z}_2]$ の Chen-Ruan オルビフォールドコホロジー環を計算する。
• 安定写像のモジュライ空間と量子積の結合性を用いて、オルビフォールドの次数 0 および 3点 Gromov-Witten 不変量を明示的に計算する。
• WDVV 方程式と除数公理を用いて、低次元データから高次元不変量を決定する。
• $Y$ を $\mathrm{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ 内の超曲面として記述し、$\mathbb{P}^2$ 上のランク 2 ベクトルバンドルの射影化として実現する。
• 量子積構造の転置行列を用いて、$Y$ と $[F/\mathbb{Z}_2]$ の量子パラメータ間の線形変換を導出する。
• 解析接続を実行し、量子パラメータ $q_1 = -1$ を設定することで、オルビフォールドのポテンシャルと解消のポテンシャルを一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化な双線形形式から誘導される $\mathbb{Z}_2$-作用を伴う $\mathbb{C}^3$ のフラッグ多様体 $F$ に対するオルビフォールド $[F/\mathbb{Z}_2]$ において、Crepant Resolution Conjecture は成立するか？
• RQ2 双線形形式から誘導される $\mathbb{Z}_2$-作用の下で、オルビフォールド $[F/\mathbb{Z}_2]$ の genus-zero Gromov-Witten ポテンシャルの明示的形は何か？
• RQ3 $F/\mathbb{Z}_2$ の crespant 解消 $Y$ の量子コホロジー環は、オルビフォールド $[F/\mathbb{Z}_2]$ のそれとどのように比較できるか？
• RQ4 量子パラメータと変数のどの線形変換が、$q_1 = -1$ の設定後に $Y$ の Gromov-Witten ポテンシャルと $[F/\mathbb{Z}_2]$ のそれとを一致させるか？

主な発見

• crespant 解消 $Y$ の genus-zero Gromov-Witten ポテンシャルは、変数の線形変換と $q_1 = -1$ の設定の後、オルビフォールド $[F/\mathbb{Z}_2]$ のそれと一致し、この場合の CRC が確認された。
• 変換 $t_0 \mapsto s_0$, $t_1 \mapsto s_1 + i s_2$, $t_2 \mapsto -i s_2$, $t_3 \mapsto -6s_3 - \frac{3i}{2}s_4$, $t_4 \mapsto 3s_3 + i s_4$, $t_5 \mapsto 3s_5$ の下で、$q_1 = -1$ かつ $q_2$ が解析接続によって吸収されると、$Y$ と $[F/\mathbb{Z}_2]$ のポテンシャル関数が等しくなる。
• $Y$ と $[F/\mathbb{Z}_2]$ の 3点不変量は明示的に計算され、高次不変量は WDVV 方程式と除数公理によって決定された。
• 解消 $Y$ は $\mathbb{P}^2$ 上の $\mathbb{P}^1$-バンドルとして実現され、具体的には $\mathrm{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ 内の超曲面であり、$\mathbb{P}^2$ 上の新しいランク 2 ベクトルバンドルの射影化と同型である。
• $q_2 = 0$ の下で $F^Y$ の $t_1^n$ の係数は古典的不変量によって定まり、変数変換の下でオルビフォールドのポテンシャルと一致し、$s_2$ 依存性の一致が確認された。
• 解析接続により $q_1 = -1$ に至った後、両ポテンシャルの $s_2$ に関する3階微分が一致し、既知の $[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_2]$ の結果と一致する。6倍の係数と符号の調整が適切に反映されている。