[論文レビュー] The curvature problem for formal and infinitesimal deformations

Wendy Lowen, Michel Van den Bergh|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、曲率項が冪零であるとき、上に有界なコホモロジー的次数付き代数のホッホシュילד複体における形式的および無限小のモーラー＝カルタン要素が、 torsion Morita による変形に正確に対応することを示すことにより、変形理論における曲率問題を解決する。主な結果は、この条件下で曲率のある $A_\infty$-変形と曲率のない Morita 変形の間の全単射を確立し、導来 Morita 理論を用いて、古典的変形理論を曲率のある設定に拡張する。

ABSTRACT

We interpret all Maurer-Cartan elements in the formal Hochschild complex of a small dg category which is cohomologically bounded above in terms of torsion Morita deformations. This solves the "curvature problem", i.e. the phenomenon that such Maurer-Cartan elements naturally parameterize curved A_infinity deformations. In the infinitesimal setup, we show how (n+1)-th order curved deformations give rise to n-th order uncurved Morita deformations.

研究の動機と目的

• 曲率問題を解消する。具体的には、ホッホシュILD複体内のモーラー＝カルタン要素が、曲率のある $A_\infty$-代数をパrameter化するが、曲率のない dg や $A_\infty$-代数をパラメータ化しないという問題を解消すること。
• このような曲率のある変形が、曲率のない Morita 変形から生じる条件を同定することにより、古典的変形理論を曲率のある設定に拡張すること。
• 曲率項が冪零であるという条件下で、形式的モーラー＝カルタン要素と torsion Morita 変形との間の全単射を確立すること。
• 上に有界なコホモロジー的次数付き代数に対して、すべての形式的モーラー＝カルタン要素が torsion Morita 変形から生じることを示すこと。

提案手法

• $k[[t]]$-線形な $cA_\infty$-代数 $A$ 上のねじれ対象の $cA_\infty$-圏 $\mathsf{Tw}(A)$ を、$A$ のシフトの形式的直和に、次数 1 の接続 $\delta_M$ を持つものとして構成する。
• 曲率 $c(M) = \delta_M^2$ がコホモロジーで消えるようなねじれ対象を、曲率のないものと定義し、古典的ホモロジー代数と整合性を持つようにする。
• Morita 同値な dg 代数のホッホシュILD複体の間で Keller の $B_\infty$-同型 $\Gamma_{M_0}$ を用い、同値な圏間での変形を関連付ける。
• 形式的変形枠組みにおいて導来 Nakayama の補題が成り立つように保証するため、torsion Morita 同値性の概念を導入する。
• モーラー＝カルタン要素 $\phi$ から明示的な $cA_\infty$-変形 $A_t$ を構成し、$\phi^{(0)}_0$ が冪零であれば、$A_t$ が曲率のない変形と Morita 同値であることを示す。
• 摂動理論とノルムホモトピーの議論を用いて、非冪零な曲率項（例えば可逆元）が存在する場合には、変形が自明または Morita 同値ではないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッホシュILD複体内のモーラー＝カルタン要素から生じる曲率のある $A_\infty$-変形が、曲率のない Morita 変形から生じるのはどのようなときか？
• RQ2 形式的モーラー＝カルタン要素が、曲率のない Morita 変形に対応するための条件は何か？ あるいは、非 Morita 同値な曲率のある代数に対応する場合があるか？
• RQ3 非冪零な曲率が存在する場合、標準的なモーラー＝カルタン形式的論法がなぜ曲率のない変形をパラメータ化できないのか？
• RQ4 Morita 同値な圏に移ることで曲率問題が解消可能か？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ5 次数 2 の $k[x,x^{-1}]$ という次数付き体が、写像 $\Theta$ の全射性に対する反例として果たす役割は何か？

主な発見

• $A_0$ がコホモロジー的上に有界であるとき、写像 $\Theta: \mathrm{Def}_{\mathrm{tMor}}(A_0;k[[t]]) \to \mathrm{MC}(A_0;k[[t]])$ は全単射であり、この設定における曲率問題を解決する。
• 形式的モーラー＝カルタン要素 $\phi$ が $\Theta$ の像にあるための必要十分条件は、その曲率項 $\phi_0^{(0)}$ が $H^*A_0$ 内で冪零であることである。これは、曲率のある変形を曲率のない Morita 変形に引き上げるための明確な障害を示している。
• 次数 $\deg(x) = 2$ の次数付き体 $A_0 = k[x,x^{-1}]$ に対して、$\phi = x \in \mathrm{MC}(A_0;k[[t]])$ は $\Theta$ の像に属さない。なぜなら $x$ は可逆であり、したがって冪零ではないからである。
• ねじれ対象 $A' = A \oplus \Sigma^{-1}A$ に対して、$\delta_{A'} = \begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ を持つとき、その自己準同型 dg 代数はノルムホモトピー的であり、したがってゼロ圏と擬似同値である。
• 任意の $n \geq 1$ に対して、$\phi_{(n)} = x t^n$ は $\Theta$ の像に属する。なぜならその曲率項 $\phi_0^{(0)} = 0$ が冪零であり、対応する変形が曲率のないものと Morita 同値だからである。
• 摂動理論により、$\mathsf{Tw}_{ut}(A_0)$ の部分圏から生じる任意の曲率のない変形は、曲率項が可逆であれば、ゼロ圏と擬似同値である必要がある。これは、$\Theta$ が次数付き体のケースで全射でない理由を説明している。