[論文レビュー] The cyclotomic BMW algebra associated with the two string type B braid group

Stewart Wilcox, Shona Yu|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2文字型Bブレード群に関連するcyclotomic BMW代数 $ \mathscr{B}_{2}^{k} $ の完全な基底および正則表現を提供する。$ V $ をランク$ k $ のモジュールとし、パラメータに明示的な適正性条件を課したときの自由性を証明することで、著者らは $ \mathscr{B}_{2}^{k} $ がランク $ 3k^2 $ の自由 $ R $-加群であることを確立した。明示的な基底 $ \{Y^i e Y^j, Y^i X Y^j, X Y^i X Y^j \mid 0 \leq i,j \leq k-1\} $ が得られ、これにより先行研究における欠落を補い、これらの条件が一般に自由性を保証するのに必要かつ十分であることを示した。

ABSTRACT

The cyclotomic Birman-Murakami-Wenzl (or BMW) algebras B_n^k, introduced by R. Haring-Oldenburg, are extensions of the cyclotomic Hecke algebras of Ariki-Koike, in the same way as the BMW algebras are extensions of the Hecke algebras of type A. In this paper we focus on the case n=2, producing a basis of B_2^k and constructing its left regular representation.

研究の動機と目的

• Häring-Oldenburg (2006) における2文字型cyclotomic BMW代数 $ \mathscr{B}_2^k $ の自由性に関する不完全な証明を解消すること。
• $ \mathscr{B}_2^k $ が期待されるランク $ 3k^2 $ の自由加群であることを保証する代数のパラメータに関する明示的適正性条件を導出すること。
• ランク$ k $ のモジュール $ V $ を用いて $ \mathscr{B}_2^k $ の左正則表現を構成し、明示的な $ R $-基底の存在を証明すること。
• 導出された適正性条件が、すべての $ n $ に対して期待されるランクを持つ $ \mathscr{B}_n^k $ の自由性に関して、必要かつ十分であることを示すこと。

提案手法

• $ \mathscr{B}_2^k(R) $ を、 $ Y^{\pm1}, X^{\pm1}, e $ によって生成され、 $ Y^k = \sum_{i=0}^{k-1} q_i Y^i $ や $ X $, $ e $, $ Y $ を含むブレードに類似した関係式を満たす単位的結合的 $ R $-代数として定義する。
• ランク$ k $ の $ \mathscr{B}_2^k $-モジュール $ V = \langle Y^i e \mid 0 \leq i \leq k-1 \rangle $ を構成し、基底要素における $ X $, $ Y $, $ e $ の作用を明示的な式で定義する。
• $ \kappa = X^{-1} u_{00} $ とおくとき、 $ \phi: \mathscr{B}_2^k \to \Xi = V \otimes_R V $ を $ a \mapsto a \kappa $ で定義し、 $ \phi $ が $ \mathscr{B}_2^k $-モジュール同型であることを証明する。
• 同型 $ \phi $ を用いて $ \Xi $ の $ R $-基底を $ \mathscr{B}_2^k $ の $ R $-基底に持ち上げ、明示的に $ \{Y^i e Y^j, Y^i X Y^j, X Y^i X Y^j \mid 0 \leq i,j \leq k-1\} $ と与える。
• $ V $ がランク $ k $ の自由モジュールであり、モジュール準同型 $ \phi $ が単射であることを要求することで、パラメータ $ q_i, A_m, \lambda, q $ に対する適正性条件を導出する。
• 適正性条件が $ \mathscr{B}_2^k $ がランク $ 3k^2 $ の自由加群であるために必要かつ十分であり、かつこれらの条件がすべての $ n $ に対して $ \mathscr{B}_n^k $ の期待されるランクにおける自由性を保証することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cyclotomic BMW代数 $ \mathscr{B}_2^k $ がランク $ 3k^2 $ の自由加群であるための正確なパラメータ条件は何か？
• RQ2 モジュール論的技法を用いて、 $ \mathscr{B}_2^k $ の左正則表現をどのように明示的に構成できるか？
• RQ3 $ \mathscr{B}_2^k $ における $ e $ で生成される両側イデアルの構造は何か？また、モジュール $ V $ とはどのように関係するか？
• RQ4 $ \mathscr{B}_2^k $ に対して導出された適正性条件は、すべての $ n $ に対して $ \mathscr{B}_n^k $ の自由性に関して必要かつ十分であるか？
• RQ5 導出されたパラメータ条件のもとで、 $ \mathscr{B}_2^k $ の基底を明示的に記述し、線形独立性を証明できるか？

主な発見

• cyclotomic BMW代数 $ \mathscr{B}_2^k(R) $ がランク $ 3k^2 $ の自由 $ R $-加群であるのは、パラメータが導出された適正性条件を満たす場合に限る。
• $ \mathscr{B}_2^k(R) $ の明示的 $ R $-基底は $ \{Y^i e Y^j, Y^i X Y^j, X Y^i X Y^j \mid 0 \leq i,j \leq k-1\} $ で与えられ、これが線形独立かつ生成的であることが証明されている。
• $ e $ で生成される両側イデアルは、基底 $ \{Y^i e Y^j \mid 0 \leq i,j \leq k-1\} $ を持つ自由 $ R $-加群であり、ランク$ k $ のモジュール $ V $ の $ k $ 個のコピーに同型である。
• 適正性条件は $ \mathscr{B}_2^k(R) $ がランク $ 3k^2 $ の自由加群であるために必要かつ十分であり、これらの条件はすべての $ n $ に対して $ \mathscr{B}_n^k(R) $ が期待されるランク $ k^n (2n-1)!! $ の自由加群であることを保証する。
• $ \mathscr{B}_2^k(R) $ の左正則表現は、 $ \phi: \mathscr{B}_2^k \to V \otimes_R V $ による同型写像を用いて構成され、ここで $ V $ はランク$ k $ の $ \mathscr{B}_2^k $-モジュールであり、この同型写像が $ \mathscr{B}_2^k $-モジュール同型であることが証明されている。
• 導出された適正性条件は、最も一般な可能性である： $ \mathscr{B}_2^k $ がランク $ 3k^2 $ の自由加群であるならば、パラメータはこれらの条件を満たさなければならない。これは、コロナリー4.5における4つの重要な命題の同値性によって示されている。