[論文レビュー] The d-bar-equation on homogeneous varieties with an isolated singularity

Jean Ruppenthal|ArXiv.org|Mar 9, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$1 \leq p \leq \infty$ における $L^p$-空間上で、孤立特異点をもつ一様な多様体上での $\overline{\partial}$-方程式を、特異点の解消と正規バンドルのファイバーに沿った積分を用いて解く。主な結果は、$H^q(X, \mathcal{O}(N^{-\mu}))$ のコホロジー群による可解性の障害を同定し、$X$ が $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ または楕円曲線の場合にそれらを明示的に計算することである。

ABSTRACT

Let X be a regular irreducible variety in CP^{n-1}, Y the associated homogeneous variety in C^n, and N the restriction of the universal bundle of CP^{n-1} to X. In the present paper, we compute the obstructions to solving the d-bar-equation in the L^p-sense on Y for 1<=p<=\infty in terms of cohomology groups H^q(X,O(N^m)). That allows to identify obstructions explicitly if X is specified more precisely, for example if it is equivalent to CP^1 or an elliptic curve.

研究の動機と目的

• 孤立特異点をもつ一様多様体上での $L^p$-空間における $\overline{\partial}$-方程式の可解性の障害を計算すること。
• $L^2$-コホロジーの結果を $1 \leq p \leq \infty$ の広い $L^p$-枠組みへと拡張すること。
• 重み付きドレーム複体を介して、特異多様体上の $L^p$-ドレームコホロジーと解消上でのコホロジー群の間の明確な関係を確立すること。
• ファイバーに沿った積分と重み付き複体を用いて、$L^2$ および $L^\infty$ の結果を中間の $L^p$-空間へ一般化すること。
• $\dim Y \geq 3$ の場合に、低次の $L^p$-コホロジーに対する明示的な消滅結果を提供すること。

提案手法

• 特異点の解消（Hironakaの解消）を用いて、単一のブLOW-UPにより $\overline{\partial}$-方程式を滑らかな状況に引き戻す。
• 解消上での正規交差に対応する重み付きドレーム複体を構成し、その完全性（定理3.3）を保証する。
• 例外的除集合の正規バンドルのファイバーに沿った積分を用いて、$\overline{\partial}$-方程式の解を構成する。
• $p$ が下位臨界（subcritical）の場合に、$L^p$-閉形式を穿孔領域から全領域へ $\overline{\partial}$-拡張定理を用いて持ち上げる。
• 特異多様体上の $L^p$-ドレームコホロジーを、$X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{n-1}$ 上の滑らかな基底上のラインバンドル $\mathcal{O}(N^{-\mu})$ のコホロジーに結びつける。
• Grauertのバンプ法とステイン領域の性質を活用して、コホロジーにおける制限写像の上への性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立特異点をもつ一様多様体上での $L^p$-空間における $\overline{\partial}$-方程式の可解性の障害は何か？
• RQ2 このような特異多様体上での $L^p$-ドレームコホロジーは、解消上でのコホロジーをどのように計算できるか？
• RQ3 $H^q_{(p)}(Y^*, \mathcal{O})$ が消える $p$ および $q$ の値は何か？その消滅の背後にある要因は何か？
• RQ4 Ohsawa もしくは Pardon-Stern の $L^2$-コホロジー結果を $p \neq 2$ の $L^p$-設定へ拡張できるか？
• RQ5 重み付きドレーム複体とファイバーに沿った積分は、特異空間上での $\overline{\partial}$-方程式の解法において果たす役割は何か？

主な発見

• $1 \leq q \leq \dim Y - 2$ のとき、$D$ が $0 \in D$ を含む強擬凸領域であれば、すべての $1 \leq p \leq \infty$ に対して $H^q_{(p)}(D^*, \mathcal{O})$ は消える。
• $p = 1$ かつ $1 \leq q \leq d-2$ のとき、$d = \dim Y \geq 3$ ならば $H^q_{(p)}(D^*, \mathcal{O})$ は消える。
• $1 \leq q \leq d-2$ かつ $\mu \geq 1 + q - 2d$ のとき、$H^q(X, \mathcal{O}(N^{-\mu}))$ の明示的消滅が示される。
• $X = \mathbb{C}\mathbb{P}^k$ のとき、$\mu \geq q - 2k$ かつ $1 \leq q \leq k$ ならば $H^q(\mathbb{C}\mathbb{P}^k, \mathcal{O}(N^{-\mu}))$ は消える。
• $p = 2n/(2n-1)$ で $1 \leq q \leq k+1$ のとき、穿孔球 $D^*$ の $L^p$-コホロジーは消える。これは $H^q_{(p)}(D^*, \mathcal{O}) = 0$ を意味する。
• この手法により、$2d/p \notin \mathbb{Z}$ かつ $p=1$ の場合に、ヒルバート空間法を用いることなく $L^p$-ドレームコホロジーを計算できる。