[論文レビュー] The deformation of symplectic critical surfaces in a Kähler surface-II---Compactness

Xiaoli Han, Jiayu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\beta$-symplectic臨界的表面の列が、$q>4$ に対して $1/\cos^q\alpha$ の $L^q$-ノルムと genus に一様な有界性がある場合、コンpact Kähler多様体内のコンpact性を確立する。Moser反復と小エネルギー正則性を用いて、有限個の特異点集合を除くコンpact部分集合上で、部分列が $C^l$ 収束することを証明し、各特異点は $\mathbb{C}^2$ 内の正則的バブルによって解消され、極限表面は特異点を滑らかに超えて拡張可能である。

ABSTRACT

In this paper we consider the compactness of $β$-symplectic critical surfaces in a Kähler surface. Let $M$ be a compact Kähler surface and $Σ_i\subset M$ be a sequence of closed $β_i$-symplectic critical surfaces with $β_i oβ_0\in (0,\infty)$. Suppose the quantity $\int_{Σ_i}\frac{1}{\cos^qα_i}dμ_i$ (for some $q>4$) and the genus of $Σ_{i}$ are bounded, then there exists a finite set of points ${\mathcal S}\subset M$ and a subsequence $Σ_{i'}$ that converges uniformly in the $C^l$ topology (for any $l

研究の動機と目的

• コンpact Kähler多様体内における $\beta_i \to \beta_0 \in (0,\infty)$ のとき、$\beta$-symplectic臨界的表面の列のコンパクトネスを確立し、安定な $\beta$-臨界的表面の集合の閉包を扱う。
• 収束解析を可能にするために、$\cos\alpha$ や全曲率といった幾何的量を列全体にわたって一様に制御する。
• 極限表面の特異点は孤立的であり、各特異点は $\mathbb{C}^2$ 内の正則的バブルによって解消され、各特異点における接錐は一点で交わる平面の和集合であることを示す。
• 極限表面が特異点集合を滑らかに超えて拡張可能な $\beta_0$-symplectic臨界的表面であることを証明し、最小曲面のコンパクトネス結果を一般化する。

提案手法

• 小エネルギー正則性定理を $\beta$-symplectic臨界的表面に対して確立し、エネルギーが十分に小さい場合には正則性が保証されることを保証する。
• $\cos\alpha$ が満たす楕円型方程式に対してMoser反復を適用し、$q>4$ に対して $1/\cos^q\alpha$ の $L^q$-有界性を初期条件として用いる。
• 反復と曲率推定を用いて、$\cos\alpha$ の一様な下界および全曲率の上界を導出する。
• 付録で証明された単調性公式を用いて、面積の増加とエネルギーの集中を制御し、小エネルギー正則性結果に不可欠な役割を果たす。
• $\mathcal{S}$ を有限特異点集合とするとき、$M \setminus \mathcal{S}$ のコンパクト部分集合上で $C^l$ 位相における収束する部分列を構成する。
• $\mathcal{S}$ 内の各特異点 $p_\gamma$ におけるバブルツリー構造を解析し、各バブルが $\mathbb{C}^2$ 内の滑らかな正則的曲線であり、平坦なコーン接錐を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpact Kähler多様体内における $\beta_i$-symplectic臨界的表面の列が、$\beta_0$-symplectic臨界的表面に収束する条件は何か？
• RQ2 $\int_\Sigma \frac{1}{\cos^q\alpha} d\mu$ に $q>4$ に対して一様な有界性と genus に一様な有界性がある場合、エネルギーの集中を防ぎ、正則性を保証できるか？
• RQ3 収束が失敗する点における極限表面の構造は何か？特異点はどのように生じるか？
• RQ4 特異点に形成されるバブルは $\mathbb{C}^2$ 内の正則的曲線とどのように関係し、その接錐構造は何か？
• RQ5 極限表面は特異点集合 $\mathcal{S}$ を滑らかに超えて拡張可能か？その場合、どのような条件下で可能か？

主な発見

• 部分列として、$\mathcal{S}$ を除く $M$ のコンパクト部分集合上で、任意の $l<\infty$ に対して $C^l$ 位相で一様収束する $\beta_0$-symplectic臨界的表面 $\Sigma$ に収束する。ここで $\mathcal{S}$ は有限特異点集合である。
• 極限表面 $\Sigma$ は、各連結成分 $\Omega$ に対して $\mathcal{S} \cap \overline{\Omega}$ の各点を滑らかに超えて拡張可能である。
• $p_\gamma \in \mathcal{S}$ における各特異点では、$\mathbb{C}^2$ 内の滑らかな正則的曲線であるバブルが形成され、$p_\gamma$ における接錐は原点でのみ交わる平面の和集合からなる平坦なコーンである。
• 収束は外在的ハウスドルフ距離においても成立し、極限表面の幾何的安定性を保証する。
• $q>4$ に対して $1/\cos^q\alpha$ の一様 $L^q$-有界性は、Moser反復を開始するために不可欠であり、これにより $\cos\alpha$ の一様な下界と全曲率の上界が得られる。
• 小エネルギー正則性定理により、エネルギー集中のない点は正則であり、単調性公式は面積と曲率の増加を制御するために鍵的役割を果たす。