[論文レビュー] The deformation theory of representations of the fundamental group of a smooth variety

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素数および有限体上の滑らかな多様体の基本群の表現の変形理論を研究するために単体的変形複体（SDCs）を適用する。特に対象となるのは、正標数におけるℓ-adic表現の変形函手のホイルが、関連する層が重み0の純粋型である場合、4次以下の多項式方程式によって定義されることを証明している。これは、コンパクトK"ahler多様体における結果を、非相対的かつ正標数の設定にまで拡張したものであり、Weil IIにおける重みフィルトレーションとフロベニウスの可換性を用いる。

ABSTRACT

Consider the functor describing deformations of a representation of the fundamental group of a variety X. This paper is chiefly concerned with establishing an analogue in finite characteristic of a result proved by Goldman and Millson for compact Kahler manifolds. By applying the Weil Conjectures instead of Hodge theory, we see that if X is a smooth proper variety defined over a finite field, and we consider deformations of certain continuous l-adic representations of the algebraic fundamental group, then the hull of the deformation functor will be defined by quadratic equations. Moreover, if X is merely smooth, then the hull will be defined by equations of degree at most four.

研究の動機と目的

• K"ahler多様体におけるGoldmanとMillsonの2次ホイルに関する結果を、単体的変形複体（SDCs）を用いて、非相対的滑らかな複素多様体へと拡張すること。
• 正標数における代数的基本群のℓ-adic表現の変形ホイルが、4次以下の多項式方程式によって定義される有限型の表示を持つことの確立。
• 重みが変形ホイルの構造を決定することを原理とする考えに基づき、特徴標数0と正標数の結果を統一すること。
• 混合Hodge構造が、滑らかでない多様体に対しても、自然に重みフィルトレーションから生じることの示唆。
• 有限標数における障害写像のフロベニウス可換性が、ホイルの定義方程式の制御を可能にすること。

提案手法

• 微分的ゲージ理論代数（DGLAs）の代わりに単体的変形複体（SDCs）を用い、変形函手の直接的構成を可能にする。
• 普遍被覆を介して、トポロジカル基本群の表現とX上の主G-層の間の同値関係を確立する。
• 付随 bundle $\mathrm{ad}\mathbb{B}_0$ のコホホロジーにSDC構成を適用し、変形コホホロジーを $\mathrm{H}^*(X, \mathrm{ad}\mathbb{B}_0)$ と特定する。
• 障害写像のフロベニウス可換性を用いて、ホイルをフロベニウス作用が整合するコホホロジー群に関連付ける。
• Weil II（Deligne）に由来する重みフィルトレーションを適用し、ホイルの定義方程式の次数を制限する。
• 障害写像 $f: \mathrm{H}^2(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee \to \mathbb{Q}_l[[\mathrm{H}^1(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee]]$ の像による、べき級数環の商としてホイルを構成し、フロベニウス分解を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない多様体に対しても、滑らかな複素多様体の基本群表現の変形ホイルは、混合Hodge構造をもつ可能性があるか？
• RQ2 正標数におけるℓ-adic表現の変形函手のホイルの定義方程式の最大次数は何か？
• RQ3 有限標数における障害写像のフロベニウス可換性は、変形ホイルの構造にどのような制約をもたらすか？
• RQ4 Weil IIに由来する重みフィルトレーションは、変形ホイルの提示をどの程度制御できるか？
• RQ5 SDCsは、DGLAsおよび群系列同値を介して以前に確立された結果を、より短く直接的な証明で与えられるか？

主な発見

• 滑らかな複素多様体のトポロジカル基本群の表現の変形函手のホイルは、多様体が滑らかでなくても混合Hodge構造をもつ。
• 滑らかな複素多様体では、Hodge IIによる重み制限のおかげで、ホイルは4次以下の多項式方程式によって定義される。
• 正標数において、関連する層 $\widetilde{\mathrm{ad}(\rho_0)}$ が重み0の純粋型である場合、ホイルは斉次2次方程式によって定義される。
• 正標数における滑らかで非相対的な多様体に対し、障害写像の重み分解のおかげで、ホイルは4次以下の多項式方程式によって定義される。
• 障害写像 $f: \mathrm{H}^2(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee \to \mathbb{Q}_l[[\mathrm{H}^1(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee]]$ はフロベニウス分解を保ち、重みフィルトレーションによって次数の上限が得られる。
• ホイルを $\mathbb{Q}_l[[\mathrm{H}^1(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee]] / (f(\mathrm{H}^2(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee))$ として構成する方法は、フロベニウス-equivariantであり、重みフィルトレーションを尊重するため、次数の上限が導かれる。