[論文レビュー] The density of primes in orbits of z^d + c

Spencer Hamblen, Rafe Jones+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ d $ 乗根の単位根を含む全次体 $ K $ 上の多項式 $ f(z) = z^d + c $ に対して、$ a_0 \in K $ の軌道に属する任意の元を割り切る素イデアルの集合が、2つの異なる条件下でディリクレ密度がゼロであることを確立している。条件（1）：$ c $ が非アーチメデス的位相 $ v $ における単数であり、その残留体の特徴が $ d $ と互いに素である場合。条件（2）：$ f $ のある反復が既約因子に分解され、それらの値が $ K $ 内で $ d $ 乗数でない場合。この結果は、二次写像に関する先行研究を高次多項式へ一般化し、分岐論および既約性の境界に関する新規な技法を用いている。

ABSTRACT

Given a polynomial f(z) = z^d + c over a global field K and a_0 in K, we study the density of prime ideals of K dividing at least one element of the orbit of a_0 under f. The density of such sets for linear polynomials has attracted much study, and the second author has examined several families of quadratic polynomials, but little is known in the higher-degree case. We show that for many choices of d and c this density is zero for all a_0, assuming K contains a primitive dth root of unity. The proof relies on several new results, including some ensuring the number of irreducible factors of the nth iterate of f remains bounded as n grows, and others on the ramification above certain primes in iterated extensions. Together these allow for nearly complete information when K is a global function field or when K=Q(zeta_d).

研究の動機と目的

• 全次体 $ K $ 上の写像 $ f(z) = z^d + c $ に対して、$ a_0 \in K $ の前向き軌道に属する要素を割り切る素イデアルのディリクレ密度を特定すること。
• 既知の二次写像における素イデアル密度の結果を、$ d > 2 $ である高次多項式 $ z^d + c $ へ拡張すること。
• 特に $ K $ に原始的 $ d $ 乗根が含まれる場合に、この密度がゼロとなる条件を確立すること。
• 局所および大域拡大における分岐および既約性の分析を通じて、反復多項式の算術的構造を分析すること。

提案手法

• 非アーチメデス的位相 $ v $ における $ K_v $ の $ p $-進拡大の分岐次数に基づく局所的手法を用い、条件（1）を証明する。
• ジョーンズ（2008年）の手法を高次多項式へ拡張する大域的手法を適用し、$ f^n(z) $ の既約因子の値が $ d $ 乗数でない性質を分析する。
• $ f^n(z) $ の既約因子の数に対する境界を確立し、$ n \to \infty $ のときにも一様に有界であることを示す。
• $ \mathbb{Q}(\zeta_d) $ における積の公式およびノルム推定を用いて、特に $ d $ が素数の場合に $ d $ 乗数でないことを除外する。
• $ \mathbb{Q}(\zeta_p) $ 内の特定の代数的整数が $ p $ 乗数でないことを示すために、$ p $ を法としての合同論を用いる。
• ガロア共役およびノルム比較を用いて、$ 0 < i < p $ に対して $ \mathbb{Q}(\zeta_p) $ 内で $ f^{n-1}(0) + r\zeta_p^i $ が $ p $ 乗数でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像 $ f(z) = z^d + c $ における $ a_0 $ の軌道を割り切る素イデアルの集合が、ディリクレ密度ゼロであるという意味で疎である条件は何か？
• RQ2 二次写像における素イデアル密度に関する結果を、$ d > 2 $ である高次多項式 $ z^d + c $ へ一般化できるか？
• RQ3 $ K $ に原始的 $ d $ 乗根が存在する場合、反復多項式の軌道の算術的構造にどのような影響を与えるか？
• RQ4 局所体 $ K_v $ における分岐挙動が、軌道要素を割り切る素数の密度を制御する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $ f^n(0) $ が $ K $ 内で $ d $ 乗数でないのはいつか？ そしてこれは、反復の既約性とどのように関係するか？

主な発見

• 全次体 $ K $ 上の $ f(z) = z^d + c $ に対して、$ K $ に原始的 $ d $ 乗根が含まれる場合、$ a_0 $ の軌道に属する任意の元を割り切る素イデアルのディリクレ密度は、条件（1）のもとでゼロである。すなわち、$ |c|_v < 1 $ かつ残留体の特徴が $ d $ と互いに素である非アーチメデス的位相 $ v $ が存在する場合。
• 条件（2）のもとでは、$ f^j(z) $ が既約因子 $ g_i(z) $ に分解され、$ k \geq 1 $ に対して $ \pm g_i(f^k(0)) $ がすべて $ K $ 内で $ d $ 乗数ではない場合、密度はゼロである。
• $ f^n(z) $ の既約因子の数は、$ n \to \infty $ のときにも一様に有界のままであり、これは密度解析を可能にする重要な技術的結果である。
• $ K = \mathbb{Q}(\zeta_d) $ の場合、$ d $ が素数であり、$ f^n(0) $ が $ \mathbb{Z} $ 内で $ d $ 乗数ではないならば、密度はゼロである。これは、$ c $ が $ \mathbb{Z} $ 内で $ d $ 乗数ではない限り、すべての $ n \geq 1 $ に対して成り立つ。
• $ d = p $（奇素数）かつ $ c = r^p $ の場合、$ \mathbb{Q}(\zeta_p) $ 内で $ f^n(0) + r\zeta_p^i $ は $ p $ 乗数でない。これはノルム推定および $ p $ を法とする還元により証明される。
• 全関数体および $ K = \mathbb{Q}(\zeta_d) $ の場合、密度ゼロの結果は広範な $ c $ の条件のもとでほぼ完全に確立されている。