[論文レビュー] Index Divisibility in Dynamical Sequences and Cyclic Orbits Modulo $p$

Annie S. Chen, T. Alden Gassert+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多項式写像 φ(x) = x^d + c によって生成される動的列におけるインデックスの可除性を研究し、n が φ^n(0) を割るような整数 n に注目する。本稿では、このような n の集合 D_{d,c} を特徴付けるために有向グラフを導入し、そのグラフの頂点集合が D_{d,c} に一致することを証明する。主な結果として、d が偶数の場合、0 が mod p で単一の p-サイクルを持つような素数 p の集合は有限（p=2 または空集合）である。一方、d が奇数の場合、このような素数は無限に存在すると予想されており、整数論的構造と置換サイクルに基づく制約が存在する。

ABSTRACT

Let $ϕ(x) = x^d + c$ be an integral polynomial of degree at least 2, and consider the sequence $(ϕ^n(0))_{n=0}^\infty$, which is the orbit of $0$ under iteration by $ϕ$. Let $D_{d,c}$ denote the set of positive integers $n$ for which $n \mid ϕ^n(0)$. We give a characterization of $D_{d,c}$ in terms of a directed graph and describe a number of its properties, including its cardinality and the primes contained therein. In particular, we study the question of which primes $p$ have the property that the orbit of $0$ is a single $p$-cycle modulo $p$. We show that the set of such primes is finite when $d$ is even, and conjecture that it is infinite when $d$ is odd.

研究の動機と目的

• φ(x) = x^d + c の動的列において、n が n 番目の反復 φ^n(0) を割るような正の整数 n の集合 D_{d,c} を特徴づけること。
• 0 の mod p における軌道が単一の p-サイクルを形成するような素数 p の集合 S_{d,c} を研究すること。
• S_{d,c} が有限または無限である条件を特定すること、特に d が偶数か奇数かに応じて区別すること。
• D_{d,c} および P_{d,c}（D_{d,c} の素因数）を表現・解析するためのグラフ論的枠組み（インデックス可除性グラフ）を構築すること。
• rigid divisible sequence および原始的素因数の役割を、これらの動的列の算術的構造を理解するために調査すること。

提案手法

• D_{d,c} の要素を頂点とする有向グラフ G を構築し、p-進付値の条件に基づいて辺を追加する：(1) vp(φ^n(0)) > vp(n) である場合、または (2) n を割らない素数 p が P_{d,c} に属する場合。
• このグラフの頂点集合 GV が D_{d,c} に正確に一致することを証明し、グラフ構造によるインデックス可除性の完全な特徴づけを確立する。
• 乗法群 (Z/pZ)^* の性質および x ↦ x^d mod p における置換サイクルを用いて、0 が全 p-サイクルを持つ条件を分析する。
• ヘンゼルの補題を用いて、d における解を d-進解に持ち上げることで、d が素数の場合、ある c が d^n に対して c ≡ a_i (mod d^n) を満たすと、d^n が D_{d,c} に属することを示す。
• rigid divisible sequence の理論を用いて、d^n が φ^n(0) を割るならば、d^n が φ^{d^n}(0) をも割ることを保証し、反復における可除性が保存されることを示す。
• dynatomic 多項式 Φ_n,0(c) を分析し、p を法とする c の個数（p ∈ S_{d,c} となるもの）が、Φ_p,0(c) を p を法として考えるときの根の個数に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 p に対して、x^d + c を mod p で反復したとき、0 の軌道が単一の p-サイクルを形成するのはどのような場合か？
• RQ2 S_{d,c} は有限か無限かであり、特に d が奇数か偶数かに応じてどう異なるか？
• RQ3 4 または 12 を法としての合同条件に基づく、S_{d,c} に存在する構造的制約は何か？
• RQ4 グラフ論的構成を用いて、n | φ^n(0) を満たすインデックス n の集合 D_{d,c} を完全に特徴づける方法は何か？
• RQ5 c の算術的性質と、このようなサイクルの存在との関係、特にヘンゼルの補題による持ち上げの観点から、可除性の観点でどう解釈できるか？

主な発見

• d が偶数で c が奇数の場合、0 が mod p で単一の p-サイクルを持つ唯一の素数は p = 2 である。d が偶数で c が偶数の場合、このような素数は存在しない。
• d が偶数の場合、P_{d,c} = {2} ∪ {p 素数 : p が c を割る} であるため、このような素数の集合は有限である。
• d が奇数の場合、S_{d,c} は数値的データとヒューリスティクスに基づき無限であると予想されている。
• d ≡ 3 (mod 4) かつ p ≡ 1 (mod 4) ならば、p は S_{d,c} に属しない。したがって、d = 3^k の場合、S_{d,c} に属する素数は 12 を法として 11 に合同な素数に限られる。
• d が素数の場合、d-進整数 a_1, ..., a_{d-1} が存在し、c ≡ a_i (mod d^n) ならば、d^n が φ^{d^n}(0) を割り、したがって d^n ∈ D_{d,c} となる。
• p を法とする c の個数で p ∈ S_{d,c} を満たすものは、p を法としての dynatomic 多項式 Φ_p,0(c) の非ゼロ根の個数に一致する。