[論文レビュー] The derivations, central extensions and automorphism group of the Lie algebra $W$

Shoulan Gao, Cuipo Jiang+1 more|ArXiv.org|Jan 25, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Witt代数とその随伴加群の半直積として定義される無限次元リーリング代数 $W$ の導来、中心拡大、および自己同型群の構造を調査する。コホホロジー的技法と Hochschild-Serre 譜系を用いて、$H^2(W, \mathbb{C})$ が2次元であることを特定し、1つの外部導来を有する完全な導来代数を導出し、$\mathrm{Aut}(W)$ が $\mathbb{C}^\infty \rtimes (\mathbb{Z}_2 \ltimes (\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*))$ に同型であることを完全に特徴づける。同様に、$W$ の普遍中心拡大 $\widetilde{W}$ に対しても同じ自己同型群が成り立つことが示される。

ABSTRACT

In this paper, we study the derivations, central extensions and the automorphisms of the infinite-dimensional Lie algebra W which appeared in [8] and Dong-Zhang's recent work [22] on the classification of some simple vertex operator algebras.

研究の動機と目的

• リーリング代数 $W$ の第二コホモロジー群 $H^2(W, \mathbb{C})$ を特定し、中心拡大を分類する。
• 代数 $W$ および $\widetilde{W}$ の完全な導来代数を計算し、外部導来の数を同定する。
• 自己同型群 $\mathrm{Aut}(W)$ を完全に特徴づけ、$\mathrm{Aut}(\widetilde{W})$ と同型であることを示す。
• 普遍被覆代数 $\widetilde{W}$ から、頂点演算子代数理論で研究されている代数 $W(2,2)$ への自然な全射準同型を確立する。

提案手法

• 半直積構造 $W \cong \mathcal{L} \ltimes \mathcal{I}$ を用いて、Hochschild-Serre 譜系を用いて $H^2(W, \mathbb{C})$ を計算する。
• リーリング代数のモジュール拡張に関する R. Farnsteiner の定理を導来に適用する。
• パrameter $\epsilon = \pm 1$, $\lambda \in \mathbb{C}$, $a \in \mathbb{C}^*$, および $\mu \in \mathbb{C}^*$ を用いた $W$ の自己同型の構成により、半直積分解を得る。
• $\mathfrak{Z}\mathfrak{t} \subset \mathrm{Aut}(W)$ を $\mathrm{ad}(I_k)$-導来への指数写像を通じて $\mathbb{C}^\infty$ に同型であると特定する。
• $W$ が中心を持たないことを用いて、[18] の系6により $\mathrm{Aut}(\widetilde{W}) \cong \mathrm{Aut}(W)$ を導出する。
• 自己同型の合成および共轭作用の明示的計算を通じて、群の関係および半直積構造を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーリング代数 $W$ に対して、第二コホモロジー群 $H^2(W, \mathbb{C})$ の次元は何か？
• RQ2 導来代数に含まれる外部導来はいくつであり、その完全な構造は何か？
• RQ3 完全な自己同型群 $\mathrm{Aut}(W)$ は何か？ また、その普遍中心拡大 $\widetilde{W}$ の自己同型群とはどのように関係しているか？
• RQ4 $\widetilde{W}$ から代数 $W(2,2)$ への自然な準同型が存在するか？ その像は何か？

主な発見

• $H^2(W, \mathbb{C})$ は2次元であり、$W$ は同値でない2パラメータ族の中心拡大を有することが示される。
• 導来代数は外部導来をちょうど1つ有し、Hochschild-Serre 譜系および Farnsteiner の定理により、$\widetilde{W}$ に対しても同様の結果が得られる。
• $\mathrm{Aut}(W)$ は $\mathbb{C}^\infty \rtimes (\mathbb{Z}_2 \ltimes (\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*))$ に同型であり、$\mathbb{C}^\infty$ は $\mathfrak{Z}\mathfrak{t}$ 部分群に対応する。
• $W$ が中心を持たないため、$\mathrm{Aut}(\widetilde{W}) \cong \mathrm{Aut}(W)$ である。
• 自己同型群は3つの部分群によって生成される：$\mathfrak{a} \cong \mathbb{Z}_2$（符号反転）、$\mathfrak{t} \cong \mathbb{C}$（平行移動）、$\mathfrak{b} \cong \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$（スケーリングとねじれ）。
• $\widetilde{W}$ から $W(2,2)$ への自然な全射準同型が存在し、$W$ の構造と頂点演算子代数の分類を結びつける。