[論文レビュー] The dimension of jet schemes of singular varieties

Mircea Mustaţă|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異な代数的多様体の一般化されたジェットスキームの次元を調査し、その次元がローカルな正則性不変量（例えば、対数正則性閾値や最小対数特異度）をどのように反映するかに注目している。同定理では、同次的超曲面のr重反復ジェットスキームが純次元的であるための必要条件として、d^r ≤ n を確立し、モチーフ的積分とジェットスキーム構成を通じて特異度理論と代数幾何学を結びつけている。

ABSTRACT

Given a scheme X over a field k, a generalized jet scheme parametrizes maps from Spec(A) to X, where A is a finite-dimensional, local algebra over k. We give an overview of known results concerning the dimensions of these schemes when A has embedding dimension one, when they are related to invariants of singularities in birational geometry. We end with a discussion of more general jet schemes.

研究の動機と目的

• 代数幾何学における特異度に関する情報をジェットスキームの次元がどのように符号化するかを理解すること。
• 標準的ジェットスキームから一般化されたジェットスキーム（局所有限k代数によってパラメトライズされたもの）への古典的結果の拡張。
• 局所的完備交差多様体の反復ジェットスキームの既約性および純次元性を調査すること。
• 埋め込み次元2の代数の系列におけるジェットスキーム次元の漸近的挙動に基づく新しい不変量の提案。
• 同次的超曲面のr重ジェットスキームが純次元的または既約であるための条件d^r ≤ nが十分条件かどうかを検討すること。

提案手法

• 任意の局所有限k代数Aに対して、J_A(X)を定義するジェットスキームの普遍性を用いる。これは、標準的ジェットスキームJ_m(X) = J_{k[t]/(t^{m+1})}(X)を一般化する。
• モチーフ的積分における変数変換公式を適用し、J_m(X)の次元をペア(Y,X)のローカル解体からの不変量に関連付ける。
• 射影極限を用いて、J_{k[[t]]}(X)（J_m(X)の逆極限として定義される）弧のスキームを定義し、モチーフ的積分において中心的な役割を果たす。
• ジェットスキームにおける原点上のファイバーを、u_i ∈ tR[t]/(t^{m+1}) に対してf(u_1,…,u_n) = 0 という条件で分析し、定義多項式の次数dと関連付ける。
• r変数における次数jdの単項式によって定義される部分多様体Z_j ⊂ J_{A_j}(X)の次元推定を用い、nとdの境界を導出する。
• ジェットスキームの部分多様体の次元式における二項係数の漸近的解析を適用し、不等式n ≥ d·∏_{i=1}^{r-1} (jd+i)/(j+i) を導出し、極限条件d^r ≤ n を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同次的超曲面のr重反復ジェットスキームが純次元的であるための条件は何か？
• RQ2 同次的超曲面が孤立特異点を持つ場合、d^r ≤ n がr重ジェットスキームの既約性を保証する十分条件となるか？
• RQ3 d^2 ≤ n のとき、一般の同次多項式に対して反復ジェットスキームの既約性は確立可能か？
• RQ4 ジェットスキームの次元境界と、体に関するLangのC_r条件との間に何らかの関係があるか？
• RQ5 埋め込み次元2の代数上の一般化されたジェットスキームの漸近的次元が、特異度の新しい不変量をもたらすか？

主な発見

• 次数dの多項式で定義されるA^n ⊂ X という同次的超曲面に対して、r重反復ジェットスキームが純次元的であるのはd^r ≤ n のときに限る。
• r重ジェットスキームが既約であるならば、同じ不等式d^r ≤ n が成り立つ必要があり、次元推定において厳密不等号が成り立つとd^r < n が導かれる。
• d^2 ≤ n かつ定義多項式の係数がQ上代数的に独立であるとき、2重反復ジェットスキームは既約であることが示され、正の特性におけるF特異度を用いて証明される。
• 非可算体に対して、d^2 ≤ n を満たす非常に一般な同次多項式は、2重ジェットスキームが既約である。
• 不等式d^r ≤ n は、ジェットスキームの部分多様体の次元式における二項係数の漸近的解析から生じる。
• 孤立特異点を持つ同次的超曲面のr重ジェットスキームが純次元的であるための必要条件として、d^r ≤ n が成立する。