[論文レビュー] The Dirac Operator on Nilmanifolds and Collapsing Circle Bundles

Bernd Ammann, Christian Baer|ArXiv.org|Jan 20, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、3次元ヘイゼンベルク多様体上のディラック作用素の固有値スペクトルを計算し、2次元トーラスへの崩壊におけるその挙動を分析する。固有値はスピン構造に応じて±∞に発散するか、基底多様体の固有値に収束する。この結果を、完全測地的ファイバーをもつ一般の円バンドルへの崩壊に一般化し、スピン構造のタイプ（可換型 vs. 非可換型）によって分類する。さらにホフプ法を用いて、複素射影空間上のディラックスペクトル（重複度を含む）を計算する。また、関数上のディラック作用素とラプラシアンのスペクトルが一定であるが、1形式上のラプラシアンや他のスピン構造におけるディラック作用素のスペクトルが一定でない1パラメータ族のノルマンフォールドを構成する。

ABSTRACT

We compute the spectrum of the Dirac operator on 3-dimensional Heisenberg manifolds. The behavior under collapse to the 2-torus is studied. Depending on the spin structure either all eigenvalues tend to $\pm\infty$ or there are eigenvalues converging to those of the torus. This is shown to be true in general for collapsing circle bundles with totally geodesic fibers. Using the Hopf fibration we use this fact to compute the Dirac eigenvalues on complex projective space including the multiplicities. Finally, we show that there are 1-parameter families of Riemannian nilmanifolds such that the Laplacian on functions and the Dirac operator for certain spin structures have constant spectrum while the Laplacian on 1-forms and the Dirac operator for the other spin structures have nonconstant spectrum. The marked length spectrum is also constant for these families.

研究の動機と目的

• 左不変計量を備えた3次元ヘイゼンベルク多様体上のディラック作用素のスペクトルを計算すること。
• ファイバー長さを短縮することで多様体が2次元トーラスに崩壊する際のディラック固有値の漸近的挙動を分析すること。
• 完全測地的ファイバーをもつ一般の崩壊する円バンドルへの崩壊挙動を一般化し、スピン構造のタイプ（可換型 vs. 非可換型）によって分類すること。
• ホフプ法を用いて複素射影空間上のディラックスペクトルとその重複度を計算すること。
• 関数上のディラック作用素とラプラシアンのスペクトルが一定であるが、1形式上のラプラシアンや他のスピン構造におけるディラック作用素のスペクトルが一定でない1パラメータ族のリーマン多様体ノルマンフォールドを構成し、マークド長さスペクトルが一定のまま保たれることを示すこと。

提案手法

• ノルム的リー群の表現論とスピン幾何学を用いて、3次元ヘイゼンベルク多様体上のディラックスペクトルを計算する。
• ベルジャー球面上のディラック固有値に対する明示的公式を適用し、ホフプ法を介した崩壊における固有値の極限を分析する。
• 可換型と非可換型の2種類のスピン構造を区別し、固有値が基底多様体の固有値に収束するか、±∞に発散するかを決定する。
• コシュールの公式を用いて、既約表現上でのディラック作用素を表現し、特定の表現空間への制限の行列式を計算する。
• 1次元表現空間へのディラック作用素の制限の行列式の微分を用いて、スペクトルの非定常な挙動を検出する。
• ほぼ内部自己同型を用いて2段階ノルマンフォールドの1パラメータ族を構成し、関数上のラプラシアンのスペクトルとマークド長さスペクトルが一定のまま保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元ヘイゼンベルク多様体上のディラック作用素の固有値は、2次元トーラスへの崩壊においてどのように振る舞うか？
• RQ2 崩壊する円バンドルにおいて、ディラック固有値が基底多様体の固有値に収束するか、±∞に発散するかを決定する要因は何か？
• RQ3 ホフプ法の崩壊結果と既知のベルジャー球面の結果を用いて、複素射影空間上のディラックスペクトルを計算できるか？
• RQ4 関数上のディラックスペクトルが一定であるが、他のスピン構造では変動する連続的なリーマン多様体ノルマンフォールド族は存在するか？
• RQ5 ノルマンフォールドにおいて、スペクトル変形の下でマークド長さスペクトルはどの程度不変のままであるか？

主な発見

• ヘイゼンベルク多様体上の非可換型スピン構造では、2次元トーラスへの崩壊に伴い、すべてのディラック固有値が±∞に発散する。
• 可換型スピン構造では、一部のディラック固有値が基底2次元トーラスの固有値に正確に収束する。
• 複素射影空間 ℂP^m 上のディラックスペクトルはホフプ法を用いて計算され、重複度が明示的に決定され、既存の結果を確認・簡略化する。
• m が偶数のとき、ℂP^m は非スピンであり、すべての固有値が±∞に発散する。m が奇数のとき、ℂP^m はスピンであり、固有値は基底の固有値に収束する。
• 関数上のディラック作用素とラプラシアンのスペクトルが一定であるが、1形式上のラプラシアンや他のスピン構造におけるディラック作用素のスペクトルが一定でない7次元ノルマンフォールドの1パラメータ族が存在する。
• 同じ1パラメータ族において、マークド長さスペクトルは一定のまま保たれるが、特定のスピン構造におけるディラック作用素のスペクトルは非定常な挙動を示す。