[論文レビュー] The Dirichlet-to-Neumann operator on $C(\partial Ω)$

Wolfgang Arendt, Tom Ter Elst|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、実数値のリプシッツ連続係数と $ V \in L_\infty(\Omega) $ を持つ第二順階対称散度型作用素に対して、ディリクレ問題が一意的に解ける限り、$ V $ が負であっても、境界 $ \partial\Omega $ 上の連続関数空間 $ C(\partial\Omega) $ 上で、ディリクレ・トゥ・ノイマン作用素 $ D_V $ が $ C_0 $-半群を生成することを確立する。主な貢献は、$ D_V $ の $ C(\partial\Omega) $ における部分作用素の定義域が $ C(\partial\Omega) $ で稠密であることを示したことであり、これにより連続関数への半群の制限が強く連続であることが保証され、放物型手法を用いて、第一固有関数の厳密正の性質と非可約性が確立される。

ABSTRACT

Let $Ω\subset {\bf R}^d$ be an open bounded set with Lipschitz boundary $Γ$. Let $D_V$ be the Dirichlet-to-Neumann operator with respect to a purely second-order symmetric divergence form operator with real Lipschitz continuous coefficients and a positive potential $V$. We show that the semigroup generated by $-D_V$ leaves $C(Γ)$ invariant and that the restriction of this semigroup to $C(Γ)$ is a $C_0$-semigroup. We investigate positivity and spectral properties of this semigroup. We also present results where $V$ is allowed to be negative. Of independent interest is a new criterium for semigroups to have a continuous kernel.

研究の動機と目的

• 連続関数空間 $ C(\partial\Omega) $ 上で、$ -D_V $（ポテンシャル付きディリクレ・トゥ・ノイマン作用素）が生成する半群が、$ C(\partial\Omega) $ が反射的でないにもかかわらず $ C_0 $-半群であることを確立すること。
• 係数がリプシッツ連続で、$ V \in L_\infty(\Omega) $ である場合、$ V $ に符号制限がなくとも、$ D_V $ の $ C(\partial\Omega) $ における部分作用素の定義域が $ C(\partial\Omega) $ で稠密であることを証明すること。
• 連続核を持つ $ L_2(K) $ 上の半群を特徴付け、特にディリクレ・トゥ・ノイマン作用素およびロビン作用素に対して、$ C(K) $ 上での非可約性の基準を提供すること。
• 非可約性が $ C(\partial\Omega) $ 上に成り立つならば、第一固有関数が厳密正であることを示すこと、特に $ \partial\Omega $ が非連結であっても成り立つこと。

提案手法

• 弱解 $ (A+V)u = 0 $ における $ \Omega $ 内の解と境界値 $ \text{Tr}\,u = \varphi $ を用いて、形式的手法によりディリクレ・トゥ・ノイマン作用素 $ D_V $ を定義し、$ D_V\varphi = \partial_\nu u $ とする。
• 自己共役性と正値性を用いて、$ L_2(\partial\Omega) $ 上で $ -D_V $ が生成する半群 $ S^V $ が連続核を持つことを、抽象的半群論を用いて示す。
• 滑らかなデータを持つ解を用いた近似構成と楕円型正則性の性質を活用し、$ D_V $ の $ C(\partial\Omega) $ における部分作用素の定義域の稠密性を確立する。
• 非可約性を背理法により証明する：適切な閉イデアルが不変であると仮定すると、第一固有関数の厳密正の性質と矛盾する。
• 放物型時間発展を用いて、強最大値原理により、すべての $ t > 0 $、$ z \in \partial\Omega $、$ \varphi \geq 0 $、$ \varphi \neq 0 $ に対して $ (T^V_t \varphi)(z) > 0 $ が成り立つことを示す。
• 抽象的半群論の基準を適用し、$ S^V $ が $ L_2(\partial\Omega) $ 上で非可約であり、第一固有関数が厳密正であるならば、$ T^V $ は $ C(\partial\Omega) $ 上で非可約であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続関数空間 $ C(\partial\Omega) $ 上へのディリクレ・トゥ・ノイマン半群の制限が、$ C(\partial\Omega) $ が反射的でないにもかかわらず $ C_0 $-半群をなすか？
• RQ2 係数がリプシッツ連続で、$ V \in L_\infty(\Omega) $ である場合、$ V $ が負であっても、$ D_V $ の $ C(\partial\Omega) $ における部分作用素の定義域が $ C(\partial\Omega) $ で稠密か？
• RQ3 $ \partial\Omega $ が非連結であっても、ディリクレ・トゥ・ノイマン半群の $ C(\partial\Omega) $ 上での非可約性を確立できるか？
• RQ4 非可約性が $ C(\partial\Omega) $ 上に成り立つならば、第一固有関数が厳密正であることを示せるか、特に $ \partial\Omega $ が非連結であっても成り立つか？
• RQ5 $ L_2(\partial\Omega) $ 上の半群 $ S^V $ を、$ p \in [1,\infty) $ に対して $ L_p(\partial\Omega) $ 上の $ C_0 $-半群として一貫して拡張できるか？

主な発見

• 係数 $ a_{kl} $ がリプシッツ連続であれば、$ -D_V $ が生成する半群 $ S $ の $ C(\partial\Omega) $ への制限は、定理 5.3(c) で示されるように $ C_0 $-半群である。
• ディリクレ問題が一意解を持つ限り、$ V \in L_\infty(\Omega) $ に対して、$ D_V $ の $ C(\partial\Omega) $ における部分作用素の定義域は $ C(\partial\Omega) $ で稠密である。$ V $ が負であっても成り立つ。
• $ C(\partial\Omega) $ 上の半群 $ T^V $ は非可約である。これは、任意の非ゼロ $ \varphi \in C(\partial\Omega) $、$ \varphi \geq 0 $ に対して、すべての $ t > 0 $ と $ z \in \partial\Omega $ に対して $ (T^V_t \varphi)(z) > 0 $ が成り立つことを意味する。
• $ D_V $ の第一固有関数は、$ \partial\Omega $ が非連結であっても、$ C(\partial\Omega) $ 上の $ T^V $ の非可約性により、$ \partial\Omega $ 上で厳密正である。
• $ L_2(\partial\Omega) $ 上の半群 $ S^V $ は非可約であり、$ \min\sigma(D_V) $ は単純固有値である。これは命題 7.4 で確立された。
• $ L_2(\partial\Omega) $ 上の半群 $ S^V $ は、すべての $ p \in [1,\infty) $ に対して、一貫して $ L_p(\partial\Omega) $ 上の $ C_0 $-半群に拡張可能である。これは系 7.6 で示された。