[論文レビュー] The discriminant and oscillation lengths for contact and Legendrian isotopies

Vincent Colin, Sheila Sandon|arXiv (Cornell University)|May 9, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、接触多様体の接触同相群の普遍被覆上に定義された整数値の双不変距離を導入する。この距離は接触積の埋め込みに必要な最小の埋め込みグラフ断片数に基づく。標準接触構造をもつ $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ および $\mathbb{R}P^{2n+1}$ に対してこの距離が非有界であることを証明し、$\mathbb{R}^{2n+1}$ および $S^{2n+1}$ に対しては有界であることを示す。さらに、この距離をLegendrian同相の長さ、特に判別長および振動長に拡張し、$T^*B\times S^1$ や特定の3次元円層付束などの主要な例で非有界性を示す。

ABSTRACT

We define an integer-valued non-degenerate bi-invariant metric (the discriminant metric) on the universal cover of the identity component of the contactomorphism group of any contact manifold. This metric has a very simple geometric definition, based on the notion of discriminant points of contactomorphisms. Using generating functions we prove that the discriminant metric is unbounded for the standard contact structures on R^{2n} x S^1 and RP^{2n+1}. On the other hand we also show by elementary arguments that the discriminant metric is bounded for the standard contact structures on R^{2n+1} and S^{2n+1}. As an application of these results we get that the contact fragmentation norm is unbounded for R^{2n} x S^1 and RP^{2n+1}. By elaborating on the construction of the discriminant metric we then define a second integer-valued bi-invariant metric, that we call the discriminant oscillation metric. This second metric is non-degenerate if and only if the contact manifold is orderable in the sense of Eliashberg and Polterovich and, in this case, it is compatible with the partial order. Finally we define the discriminant and oscillation lengths of a Legendrian isotopy, and prove that they are unbounded for T^{\\ast}B x S^1 for any closed manifold B, for RP^{2n+1} and for some 3-dimensional circle bundles.

研究の動機と目的

• 接触同相群の普遍被覆上に判別点の概念を用いて新しい整数値の双不変距離を定義すること。
• 生成関数を用いて、$\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ および $\mathbb{R}P^{2n+1}$ の標準接触構造に対して判別距離の非有界性を証明すること。
• $\mathbb{R}^{2n+1}$ および $S^{2n+1}$ に対しては、初等的な幾何的議論により判別距離の有界性を示すこと。
• 判別距離をLegendrian同相のための判別長および振動長に拡張し、特定の状況での非有界性を証明すること。
• 新しい距離が接触順序可能性および接触同相群の普遍被覆上の部分順序とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 接触同相の各断片のグラフの合併が $M \times M \times \mathbb{R}$ に埋め込まれるよう、同相を分割する最小の断片数として判別ノルムを定義する。
• 判別点（接触同相 $\phi$ の固定点 $q$ で、$\phi^*\alpha = e^g\alpha$ を満たし $g(q) = 0$ であるもの）の概念を用いて、グラフ合併の非埋め込み性を検出する。
• 非線形Maslov指数を研究し、Legendrian同相の下での臨界点の変動を制御するために生成関数を適用する。
• 接触同相による共役作用の下で非線形Maslov指数が不変であり、指数変化が $n$ で有界であることに着目する。
• Legendrian同相を無限被覆に引き上げることで、$T^*B \times S^1$ や $T^2 \times (-\pi/2, \pi/2)$ などの既知の事例に還元する。
• 接触多様体が順序可能である場合に限り、振動擬距離が接触同相群上の部分順序と相性が良いように構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の接触多様体に対して、その接触同相群の普遍被覆上に自然な整数値の双不変距離が存在するか？
• RQ2 どの標準接触多様体に対して判別距離が非有界になるか？
• RQ3 判別距離を用いて接触フラグメンテーションノルムの非有界性を導けるか？
• RQ4 $T^*B \times S^1$ および $\mathbb{R}P^{2n+1}$ におけるLegendrian同相の判別長および振動長の挙動はいかなるものか？
• RQ5 判別距離は、接触多様体のEliashberg-Polterovich順序可能性とどのように関係するか？

主な発見

• 生成関数と非線形Maslov指数を用いて、$\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ の標準接触構造に対して判別距離が非有界であることを証明した。
• $\mathbb{R}^{2n+1}$ および $S^{2n+1}$ に対しては、接触同相の構造に関する初等的な幾何的議論により判別距離が有界であることを示した。
• 判別距離の非有界性の結果として、$\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ および $\mathbb{R}P^{2n+1}$ における接触フラグメンテーションノルムが非有界であることを導いた。
• $T^*B \times S^1$ におけるLegendrian同相の判別長は、リーブフローの $k$ 乗繰り返しに対して少なくとも $k$ 以上であることが示され、このクラスでの非有界性が裏付けられた。
• $T^*B \times S^1$、$\mathbb{R}P^{2n+1}$、および特定の3次元円層付束において、指数の変化と被覆空間への持ち上げを用いて、Legendrian同相の振動長が非有界であることを示した。
• 振動擬距離が非退化であるのは、接触多様体が順序可能である場合に限り、そのとき、接触同相群の普遍被覆上の部分順序と相性が良い。