[論文レビュー] The distribution of the variance of primes in arithmetic progressions

Daniel Fiorilli|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

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ひとこと要約

本稿は、GRHとL関数の零点の線形独立性仮説の下で、Hooleyの予想 $ V(x;q) \sim x\log q $ がすべての $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ に対して成り立つことを提案する。既知の範囲を拡張する。$ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ の確率的モデル化により、この分散は平均 $ \phi(q)\log q $、分散 $ 2\phi(q)(\log q)^2 $ の確率変数と同様に振る舞い、$ q = (\log\log x)^{1+\delta} $ まで漸近的挙動を予測できる。これは最適である。

ABSTRACT

Hooley conjectured that the variance V(x;q) of the distribution of primes up to x in the arithmetic progressions modulo q is asymptotically x log q, in some unspecified range of q\\leq x. On average over 1\\leq q \\leq Q, this conjecture is known unconditionally in the range x/(log x)^A \\leq Q \\leq x; this last range can be improved to x^{\\frac 12+\\epsilon} \\leq Q \\leq x under the Generalized Riemann Hypothesis (GRH). We argue that Hooley's conjecture should hold down to (loglog x)^{1+o(1)} \\leq q \\leq x for all values of q, and that this range is best possible. We show under GRH and a linear independence hypothesis on the zeros of Dirichlet L-functions that for moderate values of q, \\phi(q)e^{-y}V(e^y;q) has the same distribution as that of a certain random variable of mean asymptotically \\phi(q) log q and of variance asymptotically 2\\phi(q)(log q)^2. Our estimates on the large deviations of this random variable allow us to predict the range of validity of Hooley's Conjecture.

研究の動機と目的

• Hooleyの予想 $ V(x;q) \sim x\log q $ が成り立つ $ q $ の最適な範囲を特定すること。
• 現在の条件付きおよび無条件の境界を超えて、$ V(x;q) $ の平均に関する漸近的結果をより小さい $ q $ まで拡張すること。
• 特に $ q \leq x^{1/2} $ の範囲で、個々の $ q $ に対する $ V(x;q) $ の分布を調査すること。
• $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ という予想される下限の確証を与える確率的根拠を提示し、これが最良であることを示すこと。
• 特に $ q \sim \log\log x $ の近傍で、$ q $ が減少するに従い $ V(x;q) $ の挙動がどのように変化するかを、大偏差推定を用いて調査すること。

提案手法

• $ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ を、GRHおよびDirichlet L関数の零点に関する線形独立性仮説の下で確率変数としてモデル化する。
• $ (e^{i\gamma_1 y}, \dots, e^{i\gamma_k y}) $ の極限分布を用いて等分布性を解析し、$ V(x;q) $ の分布を導出する。
• $ H_q $（$ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ の正規化版）の確率変数としての大偏差推定を適用し、$ V(x;q) \sim x\log q $ が成り立つ範囲を予測する。
• $ H_q $ の漸近的平均 $ \phi(q)\log q $ および分散 $ 2\phi(q)(\log q)^2 $ を導出し、正規分布に類似した分布への収束を示す。
• $ H_q $ の尾部挙動を用いて、$ |e^{-y}V(e^y;q) - \log q| \neq o(\log q) $ となる最小の $ y $ を推定し、$ y \approx \exp(c\phi(q)) $ を予測する。
• 既知の境界と予測挙動を比較する：固定された $ q $ に対して $ V(x;q) \ll x(\log\log\log x)^4 $ が成り立つため、$ q = (\log\log x)^{1+\delta} $ の近傍で遷移が生じると予想される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hooleyの予想 $ V(x;q) \sim x\log q $ は $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ にまで拡張可能であり、この範囲は最適であるか？
• RQ2 GRHおよびL関数の零点の線形独立性の下で、$ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ の確率的分布は何か？
• RQ3 確率変数 $ H_q $ の大偏差は、$ V(x;q) \sim x\log q $ の有効範囲にどのように影響を与えるか？
• RQ4 $ q $ が $ x^{o(1)} $ から固定値に減少するに従い、$ V(x;q) $ の大きさにどのような遷移が生じるか？
• RQ5 固定された $ q $ に対して既知の上界 $ V(x;q) \ll x(\log\log\log x)^4 $ は、$ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ の範囲における漸近的挙動 $ V(x;q) \sim x\log q $ と整合するか？

主な発見

• GRHおよび線形独立性仮説の下で、$ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ は、平均が漸近的に $ \phi(q)\log q $、分散が漸近的に $ 2\phi(q)(\log q)^2 $ である極限分布を持つ。
• $ H_q $ の最大の偏差は $ \epsilon \asymp 1 $ のとき発生し、$ q \sim \log\log x $ の近傍で $ V(x;q) $ の挙動に段階的転移が生じると示唆する。
• $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ の範囲が、$ V(x;q) \sim x\log q $ に対して最適であると予測される。なぜなら、$ e^{-y}V(e^y;q) \sim \log q $ が成り立つのはこの範囲でのみだからである。
• $ q \leq (\log\log x)^{1-\delta} $ の場合、漸近的挙動 $ V(x;q) \sim x\log q $ は成立しないと予想され、鋭い閾値であることが示唆される。
• 固定された $ q $ に対して、$ e^{-y}V(e^y;q) $ の極限分布は、二重指数的減少する尾部を持つため、$ V(x;q) \ll x(\log\log\log x)^4 $ の境界が得られる。
• $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ に対して、$ V(x;q) = x\mathcal{L}(q)\left(1 + O\left(\Psi(x)\sqrt{\frac{\log\log x}{\phi(q)}}\right)\right) $ が成り立つ。ここで $ \mathcal{L}(q) = \log q - \gamma - \log(2\pi) - \sum_{p\mid q}\frac{\log p}{p-1} $ であり、$ \Psi(x) \to \infty $ である。