[論文レビュー] The Donaldson equation

Weiyong He|ArXiv.org|Oct 22, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、体積形式上のWeil-Petersson型計量から生じる完全非線形退化楕円型偏微分方程式（Donaldson方程式）のDirichlet問題に対する解の存在および正則性を確立する。連続的変形法と鋭い事前推定（右辺 $ f $ の正の性質に依存するが、定数摂動に依存するものではない）を用いて、滑らかで正の $ f $ に対して一意な $ C^{k+1,\beta} $ 解が存在することを証明し、以前の結果（$ f = \epsilon > 0 $ が定数であった）を拡張する。

ABSTRACT

In this short note, we solve a Dirichlet problem for a fully nonlinear elliptic equation. The operator is introduced by S. Donaldson and it is relevant to the geometry of the space of volume forms.

研究の動機と目的

• Donaldsonの計量空間枠組みにおける測地線方程式の可解性を、定数摂動のケースを超えて一般化すること。
• 滑らかで正の源項 $ f \in C^k(X \times [0,1]) $、$ k \geq 2 $ を持つDonaldson方程式のDirichlet問題に対して、滑らかな解の存在を確立すること。
• 特に $ C^1 $ 界の uniform 事前推定を、$ \inf f > 0 $ に依存するものとして導出し、$ f = \epsilon $ に依存するものではないこと。
• 解がすべての $ t \in [0,1] $ に対して $ 1 + \triangle\Phi > 0 $ を満たすことを証明し、解が空間 $ \mathcal{H} $ に属することを保証すること。

提案手法

• Donaldson方程式を $ Q(D^2\Phi) = f $ として定式化し、$ Q $ を $ \Phi_{tt}(1 + \triangle\Phi) - |\nabla\Phi_t|^2 $ で定義される完全非線形作用素とする。
• 連続的経路を用いる：$ Q(D^2\Phi) = (1-s)Q(D^2\Phi_{-a}) + s f $ とし、$ s=0 $ で既知の解から出発する。
• 最大値原理に基づく議論により、下界解 $ \Phi_{-a} $ とバリア関数 $ h = \frac{1}{2}(|\nabla\Phi|^2 + b\Phi^2) $ を用いて $ C^0 $ および $ C^1 $ 事前推定を確立する。
• 作用素 $ \log Q $ の凹性とEvans-Krylov理論を用いて、$ D^2\Phi $ のホルダー推定を導出し、より高い正則性へのブートストラップを可能にする。
• 線形化作用素 $ dQ $ が $ C^{k+1,\beta} $ 上で可逆であることを利用し、陰関数定理を用いて解集合の開性を証明する。
• 第2節で得られた uniform 事前推定を用いて、解集合が $ [0,1] $ 内で閉であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Donaldsonの計量空間における測地線方程式は、定数 $ \epsilon $ に限定されない一般の正の源項 $ f $ に対しても解けるか？
• RQ2 uniform $ C^1 $ 界を得るための $ f $ の必要十分条件は何か？特に $ \epsilon \to 0 $ の極限において $ \epsilon $ に依存しないもの。
• RQ3 Donaldson方程式のDirichlet問題の解は、すべての $ t \in [0,1] $ に対して空間 $ \mathcal{H} $ に属するか、すなわち $ 1 + \triangle\Phi > 0 $ を満たすか？
• RQ4 一般の正の $ C^k $ 関数 $ f $ に対して、連続的変形法を用いてDonaldson方程式のDirichlet問題を解くことができるか？

主な発見

• 源項 $ f \in C^k(X \times [0,1]) $、$ k \geq 2 $、$ f > 0 $ の場合、Dirichlet問題 $ Q(D^2\Phi) = f $ は、任意の $ \beta \in [0,1) $ に対して一意な解 $ \Phi \in C^{k+1,\beta}(X \times [0,1]) $ を持つ。
• 解はすべての $ t \in [0,1] $ に対して $ 1 + \triangle\Phi > 0 $ を満たし、正規化された体積形式の空間 $ \mathcal{H} $ に属することが保証される。
• uniform $ C^1 $ 推定は $ \inf f > 0 $ のみの仮定のもとで得られ、これは $ \epsilon \to 0 $ の極限において極めて重要である。
• $ C^2 $ 推定は最大値原理と $ \log Q $ の凹性を用いて導出され、線形化作用素 $ dQ $ は一様楕円型である。
• 解集合は連続的経路において開かつ閉であるため、連続的変形法により存在性が証明される。
• 高階正則性は、凹作用素 $ \log Q $ にEvans-Krylov理論を適用し、その後ブートストラップを適用することで得られる。