[論文レビュー] The double ramification cycle and the theta divisor

Samuel Grushevsky, Dmitry Zakharov|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、マーク付きの曲線のモジュライ空間のデリーニュ＝ムーディー型コンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上で、次数 0 および $g-1$ の普遍シータ除集合の類を、テスト曲線とシータ除集合の幾何学を用いて計算する。ハインとミュラーの二重ランダムサイクルおよびシータ除集合類に関する最近の結果を再証明・拡張し、全コンパクト化上で有効な直接的な幾何的技法を提供する。

ABSTRACT

We compute the classes of universal theta divisors of degrees zero and g-1 over the Deligne-Mumford compactification of the moduli space of curves, with various integer weights on the points, in particular reproving a recent result of Müller. We also obtain a formula for the class in the Chow ring of the moduli space of curves of compact type of the double ramification locus, given by the condition that a fixed linear combination of the marked points is a principal divisor, reproving a recent result of Hain. Our approach for computing the theta divisor is more direct, via test curves and the geometry of the theta divisor, and works easily over the entire Deligne-Mumford compactification. We use our extended result in another paper to study the partial compactification of the double ramification cycle.

研究の動機と目的

• 任意の整数重みをもつマーク付き点を持つ、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ への普遍シータ除集合の次数 0 および $g-1$ の引き戻し類を計算すること。
• ハインとミュラーによる、$CH^g(\mathcal{M}_{g,n}^{ct})$ 内の二重ランダムサイクルの最近の結果を再証明・拡張すること。
• 全コンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上で有効な、テスト曲線を用いた直接的な幾何的技法を提供し、シータ除集合類を計算すること。
• 引き戻し類としてのシータ除集合を用いた、$CH^g(\mathcal{M}_{g,n}^{ct})$ 内の二重ランダムサイクル類の公式を確立すること。
• Chow 環内での恒等式 $[z_g] = [T]^g / g!$ を通じて、二重ランダムサイクルと普遍シータ除集合の関係を明確にすること。

提案手法

• テスト曲線を用いて、シータ除集合の引き戻し類の類を計算する。
• 既知の交点数を用いて、文献に由来する既知の交点数を活用し、テスト曲線上に制限されたシータ除集合の正則線束を計算するための接続公式を適用する。
• 写像 $i: \mathcal{M}_{2,1}^{ct} \times \overline{\mathcal{M}}_{g-2,n+1} \to \overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ を用いて、類の係数に対する追加の制約を抽出する。
• Chow 環内での恒等式 $[z_g] = [T]^g / g!$ を用いて、ゼロ切断類とシータ除集合類の関係を確立する。
• ファーバー（1999）の引き戻し公式を適用し、特に $\lambda_1$ および $\delta_1^\emptyset$ に注目して、シータ除集合類のグリューニング部分への制限を計算する。
• $\mathcal{M}_{2,1}^{ct}$ 上で $\lambda_1 = \delta_1^\emptyset / 5$ が成り立つという事実を用い、シータ除集合類における $\lambda_1$ の係数を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーク付き点に任意の整数重みをもつ場合、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ への普遍次数 $g-1$ シータ除集合の引き戻し類は何か？
• RQ2 シータ除集合幾何学を用いて、$CH^g(\mathcal{M}_{g,n}^{ct})$ 内の二重ランダムサイクル類を直接にどのように計算できるか？
• RQ3 普遍対称シータ除集合 $T$ の $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ への引き戻し類の正確な公式は何か？ そして、ゼロ切断類とはどのように関係するか？
• RQ4 正則関数やグロモフ＝ウィト理論を用いずに、テスト曲線と接続公式を用いた幾何的技法によって、二重ランダムサイクル類を再導出できるか？
• RQ5 コンパクト型の曲線のモジュライ空間は、シータ除集合類の計算において果たす役割は何か？ また、普遍ヤコビアンの拡張とはどのように関係するか？

主な発見

• 普遍次数 $g-1$ シータ除集合の $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ への引き戻し類が明示的に計算され、$K_i$、$\delta_0^P$、$\delta_h^P$ 項を含む係数を持つ。
• テスト曲線との交点およびグリューニング写像を用いることで、$[s_{\underline{d}}^* \Theta]$ 内の $\lambda_1$ の係数は $-1$、$\delta_{irr}$ の係数は $0$ であることが判明した。
• 恒等式 $[z_g] = [T]^g / g!$ を用いて、$CH^g(\mathcal{M}_{g,n}^{ct})$ 内の二重ランダムサイクル類が再証明され、ハインの結果が確認された。
• ゼロ切断 $z_g$ の $\mathcal{M}_{g,n}^{ct}$ への引き戻し類は、$\frac{1}{g!} \left[ \frac{1}{2} \sum d_i^2 K_i - \frac{1}{2} \sum_P (d_P^2 - \sum_{i\in P} d_i^2) \delta_0^P - \frac{1}{2} \sum_{h>0,P} d_P^2 \delta_h^P \right]^g$ に等しく、ハインの公式と一致した。
• 接続公式と正則線束の公式を用いて、$\mathcal{M}_{2,1}^{ct}$ 上でのシータ除集合類の制限は $-\lambda_1 + \psi$ に等しくなり、最後の欠落していた係数が特定された。
• この方法は、ハインの正則関数的アプローチやカヴァリエリ＝マルクス＝ワイズのグロモフ＝ウィト理論的アプローチとは対照的に、全コンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上で有効な直接的で幾何的な代替手法を提供する。