[論文レビュー] The dynamical Mordell-Lang problem for etale maps

Jason P. Bell, Dragos Ghioca+1 more|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 62

ひとこと要約

この論文は、複素数体 ℂ 上の準射影的多様体のエタール自己準同型写像に関して、Mordell-Lang 猜測の動的版を証明し、ある部分多様体と前方軌道の交わりが、写像の繰り返し作用に関する有限個の軌道の和集合であることを確立している。p-進解析的手法（Skolem-Mahler-Lech にインspされ）と代数幾何学を用いて、無限個の軌道点が部分多様体に含まれるならば、それらはある写像の繰り返し作用に関する有限個の周期的軌道の和集合に含まれる必要があることを示している。

ABSTRACT

We prove a dynamical version of the Mordell-Lang conjecture for etale endomorphisms of quasiprojective varieties. We use p-adic methods inspired by the work of Skolem, Mahler, and Lech, combined with methods from algebraic geometry. As special cases of our result we obtain a new proof of the classical Mordell-Lang conjecture for cyclic subgroups of a semiabelian variety, and we also answer positively a question of Keeler/Rogalski/Stafford for critically dense sequences of closed points of a Noetherian integral scheme.

研究の動機と目的

• 複素数体 ℂ 上の準射影的多様体のエタール自己準同型写像に関して、動的 Mordell-Lang 猜測を解決すること。
• 古典的 Mordell-Lang 結果を、部分群の代わりに自己準同型写像による軌道に一般化すること。
• 半アーベル多様体の巡回部分群に関する古典的 Mordell-Lang 猜測の新しい証明を与えること。
• Keeler, Rogalski, および Stafford が提起した、ネーター的整域スキームにおける軌道の臨界的密度に関する問いに肯定的に答えること。
• 軌道点が部分多様体に属するインデックスの集合が、有限個の等差数列の和集合であることを確立すること。

提案手法

• p-進整数環 ℤp 上で定義された p-進写像 θi を用いた、軌道の p-進解析的パラメトライゼーションを利用する。
• p-進解析関数のゼロ点の原理を適用する：非零の p-進解析関数は、コン pact 領域内で無限個の零点をもてない。
• 軌道と部分多様体の交わりの構造を制御するために、算術幾何学および p-進解析の技術を用いる。
• 周期的点の近傍における反復写像の振る舞いを分析することにより、問題を簡略化する。
• エタール写像が接空間上で局所的に同型を誘導することを用いて、局所的な持ち上げと解析的制御を可能にする。
• 自己同型を用いた降下法を適用し、軌道が部分多様体と無限回交わるならば、それがある周期的部分多様体に含まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタール自己準同型写像による前方軌道と部分多様体の交わりは、ある写像の繰り返し作用に関する有限個の軌道の和集合であるか？
• RQ2 半アーベル多様体の巡回部分群に関する古典的 Mordell-Lang 猜測は、動的手法によって再構成可能か？
• RQ3 任意のザリスキー稠密な軌道が、任意の無限部分集合がザリスキー稠密であるという意味で臨界的稠密か？
• RQ4 部分多様体に無限個の軌道点が含まれるならば、それらは軌道の尾部を含む周期的部分多様体に含まれるか？
• RQ5 p-進解析的手法を用いて、動的設定における軌道交わりの有限性を証明できるか？

主な発見

• 任意の部分多様体 V とエタール自己準同型写像による点の前方軌道との交わりは、ある繰り返し写像 Φ^N に関する有限個の軌道の和集合である。
• この結果により、無限個の軌道点が V に含まれるならば、それらはある写像の繰り返し作用 Φ^N に関して不変な単一の周期的部分多様体に含まれることを意味する。
• 半アーベル多様体の巡回部分群に関する古典的 Mordell-Lang 猜測に対して、新たな証明が得られた。
• Keeler, Rogalski, および Stafford の予想が確認された：任意の自己同型写像によるザリスキー稠密な軌道は、臨界的稠密である。
• 任意の部分多様体 V と点 α に対して、Φ^n(α) ∈ V を満たすインデックス n の集合は、有限個の等差数列の和集合である。