[論文レビュー] The Dynamics of Rabinovich system

Oana Chi, Mircea Puta|ArXiv.org|Oct 24, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン＝ポisson構造、メトリプレクティック形式、および分散遅れと分数階微分（カプート型）を組み込んだ拡張を用いて、ラビノビッチ系の力学的挙動を調査する。三重ハミルトニアン表現を確立し、キャサマー不変量を同定し、安定性および周期的・非同型軌道を分析し、アダムス＝バシフォーストゥールム予測補正法を用いた数値解法により分数階系を導出し、分数階数αの変化に伴うカオス的挙動と安定性遷移を示す。

ABSTRACT

The paper presents some dynamical aspects of Rabinovich type, with distributed delay and with fractional derivatives.

研究の動機と目的

• 古典的ラビノビッチ系のグローバルおよびローカルな力学的性質を、ハミルトニアン＝ポアソンおよび三重ハミルトニアン形式を用いて研究すること。
• 複雑な力学をモデル化するため、分散遅れおよび分数階微分（カプート型）を含むように系を拡張すること。
• 定常点の安定性および周期的・非同型軌道の存在を分析すること。
• 遅れ付き分数階ラビノビッチ系を解くための数値手法を開発すること。
• 系における第一種および第二種のメトリプレクティック構造を調査すること。

提案手法

• ラビノビッチ系に対して3つの異なるポアソン構造（P¹, P², P³）と一般化された線形結合（P¹²³ᵃᵇᶜ）を導出し、それぞれに対応するハミルトニアンを有する。
• 代数的技法（ベルメホ＝フェイレン）を用いて、各ポアソン構造に対するキャサマー不変量を計算する。
• 線形安定性解析およびスペクトル法を用い、定常点（e1ᵐ, e2ᵐ, e3ᵐ）がスペクトル的または非線形的に安定であるかを分類する。
• 双曲線関数を用いて、e2ᵐとe2⁻ᵐ間の非同型軌道を構成し、x₃ = ±x₁の平面上で有効であることを示す。
• 反対称ポアソンテンソルPと対称計量テンソルgを用いたメトリプレクティック構造を導入し、散逸的力学を導く。
• カプート分数階微分を用いて分数階ラビノビッチ系を構築し、グリーンワルド＝レトニコフ重みを用いたアダムス＝バシフォーストゥールム予測補正法による数値積分を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラビノビッチ系の三重ハミルトニアン表現は何か？また、それらはポアソン構造とどのように関係するか？
• RQ2 異なるポアソン構造に対して存在するキャサマー不変量は何か？それらは系の不変量にどのような意味を持つのか？
• RQ3 パラメータmの変化に伴い、定常点e1ᵐ, e2ᵐ, e3ᵐの安定性特性はどのように変化するか？
• RQ4 ラビノビッチ系に周期的および非同型軌道が存在するための条件は何か？
• RQ5 分散遅れおよび分数階微分は、ラビノビッチ系の力学にどのように影響を及ぼすか？また、それらを解くために使用可能な数値手法は何か？

主な発見

• ラビノビッチ系は、ポアソン行列P¹, P², P³および対応するハミルトニアンh₁, h₂, h₃を有する3つの異なるハミルトニアン＝ポアソン実現が可能である。
• 各ポアソン構造に対して、1つの関数的に独立なキャサマー不変量が存在する：c₁ = ½(x₂² + x₃²), c₂ = x₁² + x₂², c₃ = x₁² + x₂²、および一般化されたP¹²³ᵃᵇᶜ構造に対するcαβγ。
• 定常点e₁ᵐおよびe₃ᵐは、スペクトル的および非線形的に安定であるが、e₂ᵐは不安定であり、m ≠ 0のとき固有値が不安定性を示す。
• e₂ᵐとe₂⁻ᵐの間には非同型軌道が存在し、x₁(t) = ±m sech(mt), x₂(t) = ±m tgh(mt), x₃(t) = ±m sech(mt) で与えられ、x₃ = ±x₁の平面上に存在する。
• e₁ᵐの周囲には周期的解が存在し、m ≠ 0のとき周期はおおよそπ/|m|である。
• 分数階系（5.9）および（5.10）は、カプート微分と遅延項を用いて導出され、特徴方程式にはλ^αおよびτに関する指数関数的項が含まれる。