[論文レビュー] The edge Folkman number $F_e(3, 3; 4)$ is greater than 19

Aleksandar Bikov, Nedyalko Nenov|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、辺フォルクマン数 $F_e(3,3;4)$ が20以上であることを証明し、以前の下界19を改善した。最大の $K_4$-自由グラフを体系的に分析するコンピュータ支援のアルゴリズムを用いて、19頂点のグラフがフォルクマン条件を満たさないことを確認し、新たな下界を確立した。また、頂点フォルクマン数 $F_v(2,3,3;4)$ の境界も tightened し、20から24の間にあることを示した。

ABSTRACT

The set of the graphs which do not contain the complete graph on $q$ vertices $K_q$ and have the property that in every coloring of their edges in two colors there exist a monochromatic triangle is denoted by $\mathcal{H}_e(3, 3; q)$. The edge Folkman numbers $F_e(3, 3; q) = \min\{|V(G)| : G \in \mathcal{H}_e(3, 3; q)\}$ are considered. Folkman proved in 1970 that $F_e(3, 3; q)$ exists if and only if $q \geq 4$. From the Ramsey number $R(3, 3) = 6$ it becomes clear that $F_e(3, 3; q) = 6$ if $q \geq 7$. It is also known that $F_e(3, 3; 6) = 8$ and $F_e(3, 3; 5) = 15$. The upper bounds on the number $F_e(3, 3; 4)$ which follow from the construction of Folkman and from the constructions of some other authors are not good. In 1975 Erdos posed the problem to prove the inequality $F_e(3, 3; 4) < 10^{10}$. This Erdos problem was solved by Spencer in 1978. The last upper bound on $F_e(3, 3; 4)$ was obtained in 2012 by Lange, Radziszowski and Xu, who proved that $F_e(3, 3; 4) \leq 786$. The best lower bound on this number is 19 and was obtained 10 years ago by Radziszowski and Xu. In this paper, we improve this result by proving $F_e(3, 3; 4) \geq 20$. At the end of the paper, we improve the known bounds on the vertex Folkman number $F_v(2, 3, 3; 4)$ by proving $20 \leq F_v(2, 3, 3; 4) \leq 24$.

研究の動機と目的

• 辺フォルクマン数 $F_e(3,3;4)$ の下界を向上させること。これは、$K_4$ を含まず、すべての2辺彩色に対して単色三角形を含むようなグラフの最小頂点数である。
• 有界なクリーク数を持つようなグラフの存在と最小性に関するラマヌジャン理論における未解決問題を解明すること。
• 頂点フォルクマン数 $F_v(2,3,3;4)$ に拡張し、既知の境界を精緻化すること。

提案手法

• 15頂点の最大の $K_4$-自由グラフで独立数が5以下であるものをすべて生成・分析するためのコンピュータアルゴリズム（アルゴリズム2.4）を開発した。
• 任意のグラフが $\mathcal{H}_e(3,3;4)$ に属するには、少なくとも6の彩色数を持つ必要があるという性質を用い、候補となるグラフを制約した。
• $\mathcal{L}(15;1)$ に属する2,081,234個のグラフすべてに対して体系的な探索を実施し、$\mathcal{H}_v(3,3;4;15)$ に属さないものを同定。それらを用いて $F_e(3,3;4)$ を破壊する構成要因をテストした。
• 命題4.2および4.3を適用し、特に頂点の削除と誘導部分グラフの分析によって、潜在的な最小グラフの構造を制限した。
• アルゴリズム2.4のステップ4後に得られる $\mathcal{B}$ のすべての候補を検証し、19頂点のグラフがフォルクマン条件を満たさないことを確認した。
• 頂点推移的グラフを31頂点まで体系的に探索し、$\mathcal{H}_v(2,3,3;4)$ に属するものを同定した。これにより、上界24が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K_4$ を含まず、すべての2辺彩色に対して単色三角形を含む19頂点のグラフは存在するか？
• RQ2 計算的列挙を用いて、$F_e(3,3;4)$ の下界を19を超えて向上させることは可能か？
• RQ3 $F_v(2,3,3;4)$ の最もタイトな既知の境界は何か？
• RQ4 19頂点の最大の $K_4$-自由グラフで、辺彩色に対するフォルクマン性を満たすものは存在するか？
• RQ5 最大の $K_4$-自由グラフの構造を活用して、より小さなフォルクマングラフの非存在を証明できるか？

主な発見

• 辺フォルクマン数 $F_e(3,3;4)$ は20以上であることが示され、以前の下界19を改善した。
• アルゴリズム2.4を用いた体系的探索により、$\mathcal{H}_e(3,3;4)$ に属する19頂点のグラフは存在しないことが確認された。
• 頂点フォルクマン数 $F_v(2,3,3;4)$ は $20 \leq F_v(2,3,3;4) \leq 24$ を満たし、以前の境界 $19 \leq F_v(2,3,3;4) \leq 30$ よりも改善された。
• 24頂点の頂点推移的グラフが $\mathcal{H}_v(2,3,3;4)$ に属することを同定し、その最小性（真部分グラフが条件を満たさない）が確認された。
• アルゴリズムは、独立数が5以下である15頂点の最大の $K_4$-自由グラフをすべて2,081,234個同定し、$\mathcal{L}(15;1) \setminus \mathcal{H}_v(3,3;5;15)$ に属する20個の例外的グラフがフォルクマン条件を満たさないことを検証した。
• 探索により、$\mathcal{H}_v(3,3;4;14) = \mathcal{L}(14;1)$ であることが確認されたが、$\mathcal{H}_v(3,3;4;15) \neq \mathcal{L}(15;1)$ であることが判明し、グラフ空間内の構造的差異が浮き彫りになった。