[論文レビュー] The eigenvalues of stochastic blockmodel graphs

Minh Tang|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、頂点数が増加する際のストークスティックブロックモデルグラフの隣接行列の最大固有値の同時極限分布を確立する。これらの固有値が、有界な共分散を持つ多変量正規分布に同時に収束することを証明し、Erdős-Rényi グラフに対して Füredi と Komlós が得た結果を、コミュニティ構造を持つより複雑なストークスティックブロックモデル設定に拡張する。

ABSTRACT

We derive the limiting distribution for the largest eigenvalues of the adjacency matrix for a stochastic blockmodel graph when the number of vertices tends to infinity. We show that, in the limit, these eigenvalues are jointly multivariate normal with bounded covariances. Our result extends the classic result of Füredi and Komlós on the fluctuation of the largest eigenvalue for Erdős-Rényi graphs.

研究の動機と目的

• ストークスティックブロックモデルグラフにおける隣接行列の最大固有値の漸近的分布を特徴づけること。
• Erdős-Rényi グラフに対して Füredi と Komlós が得たフラクチュエーション結果を、エッジ確率が不均一なより一般的なストークスティックブロックモデル枠組みに拡張すること。
• ノードのブロック割り当てに依存するエッジ確率を持つコミュニティ構造を有するランダムグラフのスペクトル挙動を分析すること。
• ブロック確率およびコミュニティサイズに関する一般条件の下で、最大固有値の同時収束が多変量正規分布に従うことを確立すること。

提案手法

• 隣接行列を、ランクの低い決定的ブロック行列と、独立で平均ゼロ、不均一な分散を持つエントリを有する一般化された Wigner 行列の和としてモデル化する。
• ブロック構造を条件とする下で、確率的フラクチュエーション行列の二次形式に Lindeberg-Feller 中心極限定理を適用する。
• 固有ベクトルおよびブロック確率の標本モーメントを用いたトレース展開と、各固有値フラクチュエーションの漸近的分散を導出する。
• Slutsky の定理および Cramér-Wold のデバイスを用いて、多変量正規分布への同時収束を確立する。
• 固有ベクトルおよびブロック確率行列を含む二次形式の期待値を用いて、極限共分散行列を特徴づける。
• ブロック確率行列の固有値が単純であると仮定し、スペクトル摂動技術を用いて、標本固有値と母集団固有値を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノード数が増加する際、ストークスティックブロックモデルグラフの隣接行列の最大固有値は、どのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 ストークスティックブロックモデルグラフにおける最大固有値の同時分布は、極限において多変量正規分布となるか？
• RQ3 このモデルにおける固有値フラクチュエーションの漸近的平均および共分散は、Erdős-Rényi の場合と比べてどのように異なるか？
• RQ4 コミュニティ構造（ブロック割り当て）は、隣接行列の極限スペクトル分布にどのように影響を与えるか？
• RQ5 一般のブロック確率構造のもとで、固有値のフラクチュエーションは多変量正規近似によって特徴づけられるか？

主な発見

• ノード数が無限大に近づく際、ストークスティックブロックモデルグラフにおける隣接行列の最大固有値は、同時に多変量正規分布に収束する。
• 固有値フラクチュエーションの極限共分散行列は有界であり、固有ベクトルおよびブロック確率行列に依存する。
• 各固有値フラクチュエーションの漸近的平均は、ブロック確率行列の対応する固有値の逆数に比例する。
• 固有値の同時フラクチュエーションは、固有ベクトルおよびエッジ確率行列の二次形式から生じる共分散構造によって支配される。
• この結果は、Erdős-Rényi グラフに対する Füredi と Komlós の固有値フラクチュエーション結果を、任意のコミュニティ構造を持つストークスティックブロックモデルに一般化する。
• ブロック構造が固定されており、コミュニティが退化していない限り、エッジ確率がブロック間で不均一であっても、極限分布は多変量正規のまま保たれる。