[論文レビュー] The Embedded Homology of Hypergraphs and Applications

Stéphane Bressan, J. Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、単体的複体ホモロジーを一般化するハイパーグラフの埋め込みホモロジーを導入し、ハイパーグラフの系列に対する恒常的埋め込みホモロジーを構築する。埋め込みホモロジーに対してマイヤー＝ビートリスの系列を確立し、ハイパーグラフのデータ解析のための位相的インデックス—ハイパーネットワークの差別化インデックスと相関インデックス—を定義する。

ABSTRACT

Hypergraphs are mathematical models for many problems in data sciences. In recent decades, the topological properties of hypergraphs have been studied and various kinds of (co)homologies have been constructed (cf. [3, 4, 12]). In this paper, generalising the usual homology of simplicial complexes, we define the embedded homology of hypergraphs as well as the persistent embedded homology of sequences of hypergraphs. As a generalisation of the Mayer-Vietoris sequence for the homology of simplicial complexes, we give a Mayer-Vietoris sequence for the embedded homology of hypergraphs. Moreover, as applications of the embedded homology, we study acyclic hypergraphs and construct some indices for the data analysis of hyper-networks.

研究の動機と目的

• 単体的複体ホモロジーをパーキンズとリップスコム（1991）の方法により、ハイパーグラフに埋め込みホモロジー構成を用いて一般化すること。
• ハイパーグラフの系列に対して恒常的埋め込みホモロジーを定義し、恒常的ホモロジーをハイパーグラフ設定に拡張すること。
• 単体的複体の古典的バージョンを一般化して、埋め込みホモロジーに対してマイヤー＝ビートリスの系列を確立すること。
• 関連する単体的複体と埋め込みホモロジーを用いて、非巡回ハイパーグラフを特徴付けること。
• ハイパーグラフのデータ解析のための位相的インデックス—差別化インデックスと相関インデックス—を構築すること。

提案手法

• パークスとリップスコム（1991）が提唱した関連単体的複体を用いて、ハイパーグラフを単体的複体に埋め込むことにより、ハイパーグラフの埋め込みホモロジーを定義する。
• ハイパーエッジをしきい値に基づいてフィルタリングし、ホモロジーの進化を追跡することで、ハイパーグラフの系列の恒常的埋め込みホモロジーを構築する。
• ハイパーグラフを部分ハイパーグラフに分解し、それらのホモロジー群を関連付けることで、埋め込みホモロジーに対するマイヤー＝ビートリスの系列を一般化する。
• $L^2$-ノルムと適合度の度合を用いてホモロジーのバーコードを比較し、ハイパーグラフ上の関数間の適合度測度を定義する。
• ホモロジー次元の変化に基づき、しきい値ごとに測定される社会的または属性的変動の尺度として、ハイパーグラフの差別化インデックスを定義する。
• 2つの関数の共同しきい値におけるホモロジー次元の2次元バーコードを比較し、ランダム化されたコントロールとの期待適合度を用いて、ハイパーグラフ上の2つの頂点関数の相関を測る相関インデックスを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的複体のホモロジーを、位相的構造を保つ形でハイパーグラフに一般化する方法は何か？
• RQ2 古典的な単体的複体用のマイヤー＝ビートリスの系列と同様に、ハイパーグラフの埋め込みホモロジーに対してもマイヤー＝ビートリスの系列を構築できるか？
• RQ3 埋め込みホモロジーからの位相的不変量を用いて、非巡回ハイパーグラフをどのように特徴づけられるか？
• RQ4 埋め込みホモロジーから得られるどのような位相的インデックスを、ハイパーグラフのデータ解析に用いることができるか？
• RQ5 2つの頂点関数の相関関係を、恒常的ホモロジーとバーコード比較を用いてどのように定量化できるか？

主な発見

• ハイパーグラフが単体的複体である場合、その埋め込みホモロジーは標準的なホモロジーと一致する。
• 埋め込みホモロジーに対してマイヤー＝ビートリスの系列が確立され、ハイパーグラフにおける分解に基づくホモロジー計算が可能になる。
• ハイパーグラフの系列の恒常的埋め込みホモロジーは、頂点集合の有限性により、しきい値の数が増加するにつれて安定化する。
• ハイパーグラフの差別化インデックス $\text{Diff}(\varphi,\mathcal{H})$ は、社会的差別化や移動性を定量化するものであり、値が減少するほど差別化が低下することを示す。
• ハイパーグラフの相関インデックス $\text{Corr}(\varphi,\psi,\mathcal{H})$ は、ハイパーエッジ構造に基づいて2つの頂点関数の相関を測るものであり、値が増加するほど相関が強くなる。
• 相関インデックスは、2次元バーコード関数とそのランダム化期待値との適合度スコアの重み付き和から得られる、0から1の間の実数である。