[論文レビュー] The enhanced quotient graph of the quotient of a finite group

Luis A. Dupont, Daniel G. Mendoza+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限群 $G$ の正規部分群 $H$ による商群 $G/H$ における強化商グラフ $Σ_H(G)$ を定義し、その性質を特徴づける。このグラフは、剰余類関係と巡回部分群生成に基づく隣接関係によって定義され、$Σ_H(G)$ が完全グラフであるための必要十分条件は $G/H$ が巡回群であること、オイラー的であるための必要十分条件は $|G/H|$ が奇数であること、を示している。また、強化べきグラフ $Σ(G/H)$ と類似した構造的性質を示しており、クリーク構造や平面性条件についても類似性を示している。

ABSTRACT

For a finite group $G$ with a normal subgroup $H$, the enhanced quotient graph of $G/H$, denoted by $\mathcal{G}_{H}(G),$ is the graph with vertex set $V=(G\backslash H)\cup \{e\}$ and two vertices $x$ and $y$ are edge connected if $xH = yH$ or $xH,yH\in \langle zH angle$ for some $z\in G$. In this article, we characterize the enhanced quotient graph of $G/H$. The graph $\mathcal{G}_{H}(G)$ is complete if and only if $G/H$ is cyclic, and $\mathcal{G}_{H}(G)$ is Eulerian if and only if $|G/H|$ is odd. We show some relation between the graph $\mathcal{G}_{H}(G)$ and the enhanced power graph $\mathcal{G}(G/H)$ that was introduced by Sudip Bera and A.K. Bhuniya (2016). The graph $\mathcal{G}_H(G)$ is complete if and only if $G/H$ is cyclic if and only if $\mathcal{G}(G/H)$ is complete. The graph $\mathcal{G}_H(G)$ is Eulerian if and only if $|G|$ is odd if and only if $\mathcal{G}(G)$ is Eulerian, i.e., the property of being Eulerian does not depend on the normal subgroup $H$.

研究の動機と目的

• 強化商グラフ $\mathcal{G}_H(G)$ を定義し、剰余群 $G/H$ 上の新しいグラフ構成を分析すること。
• 連結性、クリーク構造、オイラー的および平面的特性を含む、$\mathcal{G}_H(G)$ の構造的性質を確立すること。
• $\mathcal{G}_H(G)$ と強化べきグラフ $\mathcal{G}(G/H)$ を比較し、代数的・グラフ理論的同値性を明らかにすること。
• $\mathcal{G}_H(G)$ がオイラー的、完全、または平面的であるための条件を特定し、$G/H$ の群論的不変量と関連付けること。
• 削除済み強化商グラフ $\mathcal{G}_H^*(G)$ の結果を拡張し、中心および $G/H$ の元の位数との関係でその連結性と構造的性質を分析すること。

提案手法

• 頂点集合を $(G \setminus H) \cup \{e\}$ と定義し、頂点が同じ剰余類に属するか、$G/H$ の巡回部分群に含まれる場合に辺を設ける。
• $\{a,b\} \in E(\mathcal{G}_H(G))$ であるための必要十分条件を $aH = bH$ または $\{aH, bH\} \in E(\mathcal{G}(G/H))$ と定め、$\mathcal{G}_H(G)$ を強化べきグラフ $\mathcal{G}(G/H)$ と関連付ける。
• 巡回部分群および元の位数に関する群論的結果を用いて、クリーク数 $\omega(\mathcal{G}_H(G)) = |H|^{s-1} + 1$ を導出する。ここで $s$ は $G/H$ の巡回部分群の最大位数を表す。
• カラトフスキーの定理を用いて平面性を特定する：$\mathcal{G}_H(G)$ が非平面的であるのは、$|H| \geq 4$、または $|H|=1$ かつ $s \geq 5$、または $|H|=2$ かつ $s \geq 3$、または $|H|=3$ かつ $s \geq 2$ の場合に限る。
• 単位元頂点を削除したグラフ $\mathcal{G}_H^*(G)$ を分析し、$G/H$ の最小部分群の一意性および中心構造に基づいて連結性条件を導出する。
• $\mathcal{G}_H(G)$ が $k$-部グラフであることと、すべての $aH \in G/H$ に対して $|aH| \leq 2$ である条件が同値であることを用い、$\mathcal{G}_H(G)$ の周囲長が $|H|$ であるとき、$G/H \cong \mathbb{Z}_2^k$ が成り立つことを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強化商グラフ $\mathcal{G}_H(G)$ が完全グラフであるのはいつか？ これは $G/H$ の巡回性とどのように関係するか？
• RQ2 $\mathcal{G}_H(G)$ がオイラー的である条件は何か？ これは正規部分群 $H$ の選択に依存するか？
• RQ3 $\mathcal{G}_H(G)$ の構造は、完全性およびオイラー的性質において、強化べきグラフ $\mathcal{G}(G/H)$ とどのように関連しているか？
• RQ4 $\mathcal{G}_H(G)$ が平面的であるための必要十分条件は何か？ $H$ のサイズと $G/H$ の指数はこの性質にどのように影響するか？
• RQ5 削除済み強化商グラフ $\mathcal{G}_H^*(G)$ に対して成り立つ特徴づけは何か？ 特に $k$-部グラフ性および周囲長に関して。

主な発見

• $\mathcal{G}_H(G)$ が完全グラフであるための必要十分条件は $G/H$ が巡回群であることであり、これは強化べきグラフ $\mathcal{G}(G/H)$ が完全であることに等しい。
• $\mathcal{G}_H(G)$ がオイラー的であるための必要十分条件は $|G/H|$ が奇数であることであり、この性質は正規部分群 $H$ の選択とは無関係である。
• $\mathcal{G}_H(G)$ のクリーク数は $|H|^{s-1} + 1$ であり、ここで $s$ は $G/H$ の巡回部分群の最大位数を表す。
• $\mathcal{G}_H(G)$ は少なくとも $|H|^{[G:H]-1}$ 個の $\mathcal{G}(G/H)$ に同型な部分グラフを含み、これは剰余類に基づく構成に起因する。
• $\mathcal{G}_H(G)$ が非平面的であるための必要十分条件は、$|H| \geq 4$、または $|H|=1$ かつ $s \geq 5$、または $|H|=2$ かつ $s \geq 3$、または $|H|=3$ かつ $s \geq 2$ である。
• 削除済み強化商グラフ $\mathcal{G}_H^*(G)$ が $k$-部グラフで、各部が1つの剰余類に対応するための必要十分条件は $G/H \cong \mathbb{Z}_2^k$ であることであり、これは $\mathcal{G}_H^*(G)$ の周囲長が $|H|$ であるときに限り成り立つ。