[論文レビュー] The equivalence between many-to-one polygraphs and opetopic sets

Cédric Ho Thanh|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多対一の多様体図式（many-to-one polygraphs）—多様体図式は、高次元の有向グラフを用いた自由な高次カテゴリの生成形式である—と、多項式函手から導かれるオペトープの圏上の集合値プレシャーブ（opetopic sets）との間で、直接的な同値性を確立する。この同値性は、多様体図式の実現-ホモロジー随伴の構成によって得られ、オペトープ的プレックス（opetopic plexes）とオペトープ（opetopes）の関係についての未解決問題を解消する。

ABSTRACT

From the polynomial approach to the definition of opetopes of Kock et al., we derive a category of opetopes, and show that its set-valued presheaves, or opetopic sets, are equivalent to many-to-one polygraphs. As an immediate corollary, we establish that opetopic sets are equivalent to multitopic sets, introduced and studied by Harnick et al, and we also address an open question of Henry.

研究の動機と目的

• ヘンリーが提起した、オペトープ的プレックスとオペトープの関係に関する未解決問題を解消するため、オペトープ的集合と多対一の多様体図式との間で、直接的かつ関手的な同値性を確立すること。
• ヘルニックらが導入したマルチトープ的集合の圏とオペトープ的集合の圏との同値性を示すこと。
• オペトープ的プレックスの圏とオペトープの圏との同値性を示し、多対一の多様体図式のための正しい形状対象がオペトープ的プレックスであることを確認すること。
• 多項式函手と左カルタン拡張を用いた構成的で関手的な証明を提供し、間接的またはモデル理論的議論を避けること。
• オペトープ、多様体図式、マルチトープ、およびデンドロトープ的集合といった、高次元の合成の複数のアプローチを統合し、それらのプレシャーブ圏が同値であることを示すこと。

提案手法

• 多項式函手と Tn-代数から導かれる多項式的アプローチに基づき、オペトープの圏 O を定義する。
• O 上の集合値プレシャーブの圏として、オペトープ的集合の圏を定義する。すなわち、Psh(O) とする。
• オペトープの貼り合わせによって定義される源と先に持つ細胞によって生成される自由な高次カテゴリとして、多対一の多様体図式を定義する。
• 左カルタン拡張を用いて、O → Polmto なる多様体図式の実現関手 ∣−∣ を構成し、プレシャーブ上への左随伴に拡張する。
• 多様体図式 P に対して、NP = Polmto(∣−∣, P) としてホモロジー関手 NP を定義し、随伴対 (∣−∣, N) を形成する。
• この随伴の単位および余単位が自然同型であることを証明し、Psh(O) と Polmto の間の随伴同値を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オペトープ的集合と多対一の多様体図式との間には、間接的なモデル理論的構成に依存せず、直接的かつ関手的な方法で同値性が成立するか？
• RQ2 ヘンリーの予想である、オペトープ的プレックスの圏とオペトープの圏との同値性は成立するか？
• RQ3 両者とも多対一の多様体図式と同値であるため、オペトープ的集合とマルチトープ的集合との同値性は成立するか？
• RQ4 多様体図式の実現関手とホモロジー関手は、オペトープ的集合と多対一の多様体図式との間で随伴同値を形成するか？
• RQ5 オペトープの圏はカウチ完備であるか？ そして、その性質によりプレシャーブ圏の同値性が生成圏の同値性に引き上げられるか？

主な発見

• オペトープ的集合の圏 Psh(O) と多対一の多様体図式の圏 Polmto との間には、随伴同値によって与えられる同値性が存在する。
• 同値性は、多様体図式の実現-ホモロジー随伴によって確立され、両方の単位および余単位が自然同型である。
• オペトープの圏 O とオペトープ的プレックスの圏 Oplex との間には同値性が存在し、ヘンリー（2019）の未解決問題が解決された。
• オペトープ的集合はマルチトープ的集合と同値であり、両者とも多対一の多様体図式と同値であるため、既知ではあるが以前は間接的であった結果が確認された。
• オペトープ的集合の圏とデンドロトープ的集合の圏との間にも同値性が存在し、両者とも多対一の多様体図式と同値であるため、同値性が成立する。
• 証明により、多様体図式の n-生成子がオペトープによってインデックス付けされた細胞に分割されることが示され、オペトープ的集合 X の n-細胞は ∣X∣ の n-生成子と同型であることが分かった。