[論文レビュー] The equivalence of Heegaard Floer homology and embedded contact homology III: from hat to plus

Vincent Colin, Paolo Ghiggini+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用数 40

ひとこと要約

この論文は、任意の閉じた向き付け可能な3次元多様体 $M$ に対して、ヘーガードフローリングホモロジー群 $HF^+(-M)$ と埋め込まれた接触ホモロジー群 $ECH(M)$ の間の準同型を確立する。オープン・ブック分解 $(S, \rho)$ を用いて、ヘーガードフローリング複体から埋め込まれた接触ホモロジー複体へのチェーン写像 $\Phi^+$ を構成し、$U$-写像がホモトピーに関して可換となることを示し、代数的トポロジーの議論により、2つの不変量が同型であることを証明する。

ABSTRACT

Given a closed oriented 3-manifold M, we establish an isomorphism between the Heegaard Floer homology group HF^+(-M) and the embedded contact homology group ECH(M). Starting from an open book decomposition (S,h) of M, we construct a chain map Φ^+ from a Heegaard Floer chain complex associated to (S,h) to an embedded contact homology chain complex for a contact form supported by (S,h). The chain map Φ^+ commutes up to homotopy with the U-maps defined on both sides and reduces to the quasi-isomorphism Φfrom "The equivalence of Heegaard Floer homology and embedded contact homology I, II" on subcomplexes defining the hat versions. Algebraic considerations then imply that the map Φ^+ is a quasi-isomorphism.

研究の動機と目的

• 閉じた向き付け可能な3次元多様体 $M$ の $HF^+$ と $ECH$ 不変量の間の準同型を確立すること。
• 以前に構成された、ハットバージョン ($\widehat{HF}$ と $\widehat{ECH}$) のための準同型 $\Phi$ を、プラスバージョンへと拡張すること。
• 両側の $U$-写像がホモトピーに関して可換となるチェーン写像 $\Phi^+$ を定義すること。
• $\Phi^+$ がホモロジー上に同型写像を誘導することを証明し、$HF^+$ と $ECH$ の同値性を確立すること。
• 幾何的構成である $\Phi^+$ を、$U$-作用の代数的構造と、フィルター付きチェーン複体を用いて調和させること。

提案手法

• ハットバージョンで用いられた前例のコーブァーディズム $W_+$ を拡張し、$[0,1] \times \Sigma$ から $M$ へのシンプレクティックコーブァーディズム $X_+$ を構成する。
• モノドロミーのマッピングトーラスと $S_{1/2}$ 上の円筒的エンドを含む幾何的コーブァーディズム $X_+$ を用いて、チェーン写像 $\Phi^+$ を定義する。
• $g \geq 2$ である開いたブック分解 $(S, \rho)$ を用いて、ヘーガード面 $\Sigma = S_0 \cup -S_{1/2}$ と関連するチェーン複体を定義する。
• フィルター付きチェーン複体 $C(U)$ を $HF^+$ のモデルとし、$ECH(M)$ のための対応する $C(U')$ を定義し、$C(U)$ 上にフィルター $\widehat{\mathcal{F}}$ を導入する。
• これらのフィルター付き複体間の代数的写像 $\Phi_{\text{alg}}$ を構成し、スペクトル系列の議論によりそれが準同型であることを示す。
• 可換図式とホモトピー情報を利用して、$\Phi^+$ がホモロジー上に誘導する写像が、ハットバージョンで既知の準同型 $\Phi_*$ と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘーガードフローリング複体 $CF^+(-M)$ から埋め込まれた接触ホモロジー複体 $ECC(M)$ へのチェーン写像 $\Phi^+$ が、ホモトピーに関して $U$-写像と可換となるようなものが存在するか？
• RQ2 ハットバージョン間の同型 $\widehat{HF}(-M) \cong \widehat{ECH}(M)$ が、幾何的に定義されたチェーン写像によってプラスバージョンへと拡張可能か？
• RQ3 幾何的コーブァーディズムを通じて、$HF^+$ 上の $U$-作用と $ECH$ 上の $U$-作用を代数的に調和させることは可能か？
• RQ4 ホモロジー上に誘導される写像 $\Phi^+$ が同型であるか、したがって $HF^+$ と $ECH$ の同値性が証明されるか？
• RQ5 先行研究におけるように、$\Phi^+$ の構成がねじれ係数を用いて行えるか？

主な発見

• チェーン写像 $\Phi^+$ は $CF^+(-M)$ と $ECC(M)$ の間の準同型であり、同型 $HF^+(-M) \cong ECH(M)$ を確立する。
• $\Phi^+$ は両側の $U$-写像がホモトピーに関して可換であり、$K^+ = K + \Phi^+ \circ H$ と定義される特定のチェーンホモトピー $K^+$ を用いて表される。ここで $H$ と $K$ は以前の定理で定義されたものである。
• フィルター付き複体間の代数的写像 $\Phi_{\text{alg}}$ は、スペクトル系列の議論と既知の同型との可換性により、準同型であることが示された。
• $\Phi^+$ の構成には、ハットバージョンが $S_0$ のみを用いたのに対し、$\Sigma = S_0 \cup -S_{1/2}$ の両方の面 $S_0$ と $S_{1/2}$ を使用する必要がある。
• $\Phi^+$ は以前に構成されたハットバージョンの $\Phi$ を拡張しており、ホモロジー上に誘導される写像は、$\widehat{HF}$ と $\widehat{ECH}$ を定義する部分複体上で $\Phi_*$ と一致する。
• 証明は、スペクトル系列の $E^1$-頁上で誘導される写像が同型であることに依拠しており、これは元の写像 $\mathfrak{i}$ およびしたがって $\Phi_{\text{alg}}$ が準同型であることを示唆する。