[論文レビュー] The equivariant Verlinde formula on the moduli of Higgs bundles

Daniel Halpern-Leistner|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、再帰的代数幾何学と量子化技法を用いて、滑らかな曲線上の半安定ヒッグス束のモジュライスタックに対して、$\mathbb{G}_m$-作用を用いて正の線束の切断の階数を階数化することにより、等変Verlinde公式を確立する。この公式は、基本群が自明でない再帰的群 $G$ の maximal torus 上の一般化されたベーテー代入方程式の形式的解によってインデックス化された有限和として表され、古典的Verlinde公式をヒッグス束設定へと拡張する。

ABSTRACT

We prove an analog of the Verlinde formula on the moduli space of semistable meromorphic G-Higgs bundles over a smooth curve for a reductive group G whose fundamental group is free. The formula expresses the graded dimension of the space of sections of a positive line bundle as a finite sum whose terms are indexed by formal solutions of a generalized Bethe ansatz equation on the maximal torus of G. In an appendix, Constantin Teleman proves a vanishing theorem for the higher cohomology of positive line bundles on the stack of Higgs bundles.

研究の動機と目的

• ヒッグス束の設定において、非コンパクト性のため切断の次元が無限大になることから、古典的Verlinde公式をヒッグス束モジュライに拡張すること。
• ヒッグス束モジュライスタック上の正の線束の切断空間に $\mathbb{G}_m$-作用を導入し、その作用によって定まる階数化された次元を意味のある有限次元不変量として定義すること。
• 消失定理と量子化定理を用いて、半安定部分に制限した切断の階数が、そのコホロジー複体の階数付きオイラー標数に一致することを証明すること。
• 半安定部分の切断の階数を、再帰的群 $G$ の maximal torus 上の一般化されたベーテー代入方程式の形式的解によってインデックス化された有限和として定式化すること。
• 特に導来 $\Theta$-分割を用いた導来代数幾何学的手法を応用し、ハーダー＝ナラシムハン分割における特異点や非正則埋め込みを扱うこと。

提案手法

• ヒッグス束のスタックに $\mathbb{G}_m$-作用を導入し、正の線束 $\mathcal{L}$ の切断の階数を $t$ を変数とする生成関数として定義する。
• Telemanの指数公式の変種を用いて、$\chi_{\mathbb{C}^*}(\mathcal{H}, \mathcal{L})$ を階数付きオイラー標数として計算し、形式的パラメータ $t$ を重みパラメータとして再解釈する。
• 「量子化は還元と可換である」定理の導来版を適用し、$R\Gamma(\mathcal{H}, \mathcal{L}) \simeq R\Gamma(\mathcal{H}^{\rm{ss}}, \mathcal{L})$ を示し、全スタックと半安定部分のコホロジーを等しくする。
• 付録Aで証明された、スタック上での高次コホロジー $H^{>0}(\mathcal{H}, \mathcal{L})$ の消失定理を用いて、階数付き指数が $H^0(\mathcal{H}^{\rm{ss}}, \mathcal{L})$ の階数付き次元に一致することを結論づける。
• 特異点や非正則埋め込みに対してもコホロジーを比較できるように、導来 $\Theta$-分割の構造定理を用いる。
• ループ群のコホロジーに対する要因分解法とコホロロジー消失結果（例：定理A.3）を用い、主要なスペクトル系列における正次数コホロジーの消失を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト性のため切断が無限次元になるヒッグス束モジュライ空間において、Verlinde公式をどのように一般化できるか？
• RQ2 ヒッグス束設定において、切断の次元を置き換える適切な等変不変量は何か？
• RQ3 半安定部分の切断の階数付き次元は、一般化されたベーテー代入方程式の解の和として有限和として計算可能か？
• RQ4 導来代数幾何学的手法、特に $\Theta$-分割を用いることで、全スタックと半安定部分のコホロジーをどの程度厳密に比較できるか？
• RQ5 ループ群表現および接複体の対称冪に関するコホロロジー消失結果が、最終的な公式にどのように寄与するか？

主な発見

• 全切断の階数付き次元 $H^0(\mathcal{H}^{\rm{ss}}, \mathcal{L})$ は、方程式 $e^{-i2(h+2)\phi_k}\left(\frac{1-te^{2i\phi_k}}{1-te^{-2i\phi_k}}\right)^2 = 1$ の形式的解 $\phi_k = \frac{\pi k}{h+2} + t\phi_k^{(1)} + \cdots$ によってインデックス化された有限和として与えられる。
• $G = SL_2$ の場合、公式は $\left(\frac{h+2}{2(1-t)}\right)^{g-1}\sum_{k=1}^{l+1}(\sin\phi_k)^{2-2g}\left[\frac{1}{(1-t)^2 + 4t\sin^2\phi_k}\cdot\left(1 + \frac{4t}{h+2}\frac{(1-t)-2\sin^2\phi_k}{(1-t)^2 + 4t\sin^2\phi_k}\right)\right]^{g-1}$ として表される。
• 高次コホロジー群 $H^i(\mathcal{H}^{\rm{ss}}, \mathcal{L})$ は $i > 0$ に対して消失するため、コホロジー複体の階数付きオイラー標数は $H^0(\mathcal{H}^{\rm{ss}}, \mathcal{L})$ の階数付き次元に一致する。
• 階数付きオイラー標数 $\chi_{\mathbb{C}^*}(\mathcal{H}, \mathcal{L})$ は、生成関数として計算され、Teleman (2009) の指数公式と一致し、$t$ を重みパラメータとして再解釈する。
• $H^{>0}(\mathcal{M}_G, \mathcal{L} \otimes \mathrm{Sym}^r T)$ の消失は、スペクトル系列とループ群表現のコホロロジー消失定理（定理A.3）を用いて確立される。
• 最終的な公式は、線束の $c$-twist に対して不変であり、表現 $R$ が $c(R)$ に置き換わることにより、中心 $Z(G)$ の作用が反映される。