[論文レビュー] Equivariant Verlinde formula from fivebranes and vortices

Sergei Gukov, Du Pei|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 43被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、五braneの埋め込みとベーテ・アンザッツ方程式を用いて、複素ゲージ群へのヴェルリンクデの公式の一般化を提案する。5-braneの compactification とヴォーテックスダイナミクスを経て、『等長ヴェルリンクデの公式』を導出する。複素チャーン・サイモンズ理論 on Σ×S¹、ヴォーテックスモジュライ空間の等長量子K理論、ヒッグス束モジュライ上のディラック作用素の等長インデックスの間で、新しい双対性を確立する。ベーテ・アンザッツ方程式と分割関数を用いた明示的解法により、t→0極限で標準的なヴェルリンクデの公式に還元される。

ABSTRACT

We study complex Chern-Simons theory on a Seifert manifold $M_3$ by embedding it into string theory. We show that complex Chern-Simons theory on $M_3$ is equivalent to a topologically twisted supersymmetric theory and its partition function can be naturally regularized by turning on a mass parameter. We find that the dimensional reduction of this theory to 2d gives the low energy dynamics of vortices in four-dimensional gauge theory, the fact apparently overlooked in the vortex literature. We also generalize the relations between 1) the Verlinde algebra, 2) quantum cohomology of the Grassmannian, 3) Chern-Simons theory on $Σ imes S^1$ and 4) index of a spin$^c$ Dirac operator on the moduli space of flat connections to a new set of relations between 1) the "equivariant Verlinde algebra" for a complex group, 2) the equivariant quantum K-theory of the vortex moduli space, 3) complex Chern-Simons theory on $Σ imes S^1$ and 4) the equivariant index of a spin$^c$ Dirac operator on the moduli space of Higgs bundles.

研究の動機と目的

• 5-braneを用いた弦理論への埋め込みにより、チャーン・サイモンズ理論を複素ゲージ群へ一般化すること。
• Σ×S¹ 上の複素チャーン・サイモンズ理論、ヴォーテックスモジュライ空間の等長量子K理論、ヒッグス束モジュライ上のディラック作用素の等長インデックスの間で、新しい双対性を確立すること。
• t-変形されたレベルを用いて、SL(2,C) に対する新しい『等長ヴェルリンクデの公式』をベーテ・アンザッツ解法により導出すること。
• 4次元ゲージ理論におけるヴォーテックスの低エネルギー力学が、5次元トポロジカル場理論の次元削減から自然に生じることを示すこと。
• t-変形を用いたカテゴライゼーションによりヴェルリンクデ代数を拡張し、等長G/G WZWモデルの融合規則と関連させること。

提案手法

• Riemann面に compactified された五-brane を用いて、Seifert 3次元多様体 M₃ 上の複素チャーン・サイモンズ理論を弦理論に埋め込む。
• トポロジカル・ツイストを用い、5次元理論を質量パラメータで正則化される超対称理論に関連付ける。
• 5次元理論を2次元に次元削減し、4次元ゲージ理論におけるヴォーテックスの低エネルギー力学を記述することを示す。
• ヒッグス束モジュライ空間上のスピンcディラック作用素のスペクトルを用いて、等長ヴェルリンクデ代数を構成する。
• 等長G/G WZWモデルにおける融合行列の固有値に対するベーテ・アンザッツ方程式を導出し、行列式の再帰関係を用いて解く。
• t-変形パラメータを用いて、標準的ヴェルリンクデの公式（t=0）から等長ケース（t>0）への滑らかな補間を実現し、分割関数をベーテ方程式の解の和として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弦理論的構成を用いて、ヴェルリンクデの公式を複素ゲージ群へ一般化する方法は何か？
• RQ2 4次元ゲージ理論におけるヴォーテックスは、Riemann面に compactified された5次元トポロジカル場理論とどのように関係するか？
• RQ3 ヒッグス束モジュライ空間とその量子K理論から、等長ヴェルリンクデ代数はどのようにして生じるか？
• RQ4 Σ×S¹ 上の複素チャーン・サイモンズ理論と、ヒッチンモジュライ空間上のディラック作用素の等長インデックスの正確な関係は何か？
• RQ5 ベーテ・アンザッツ方程式は、等長G/G WZWモデルにおける融合規則と分割関数をどのように記述するか？

主な発見

• 本稿では、ベーテ・アンザッツ方程式の解の和として表される新しい『SL(2,C) 等長ヴェルリンクデの公式』を導出する。分割関数は Z(Σₕ;k,t) = ∑ₗ₌₀ᵏ Nₗ²ʰ⁻² で与えられ、Nₗ は融合行列の固有値である。
• t=0 の極限では、公式は正確に標準的 SU(2) ヴェルリンクデの公式に還元され、既知の事例と整合することが確認される。
• 2次元球面（h=0）における分割関数は 1−t³ に評価され、ベーテ・アンザッツ方程式の根が満たす非自明な恒等式である。
• 固有値 xₗ = 2cos(2πσₗ) は再帰関係 An+1 = xAn − An−1 を満たし、解が An = sin[2π(n+1)σ]/sin(2πσ) で与えられ、スペクトルが三角関数と関連づけられる。
• 融合行列の固有ベクトルは、tに依存する係数を持つ正弦関数として明示的に構成され、正規化因子には |1−te⁴ⁱᵖⁱσₗ|² が含まれる。
• t-変形によりヴェルリンクデ代数のカテゴライゼーションが得られ、融合規則は固有値 Nₗ = 1/[√(1−t) sin(2πσₗ)|1−te⁴ⁱᵖⁱσₗ|²] に符号化され、2次元TQFT関手はn個の穴あき表面に対して状態 ∑ₗ Nₗ²ʰ⁻²⁺ⁿ |l⟩⊗ⁿ を割り当てる。