[論文レビュー] The Ergodic Closing Lemma for Nonsingular Endomorphisms

Armando Castro|ArXiv.org|Jun 11, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体上の $C^1$ 非特異自己写像へマナーレのエルゴディックなクロージング補題を一般化し、そのような写像の残渣的集合に対して、不変確率測度の集合が、周期軌道に台を持つエルゴディック測度の閉凸包であることを証明する。証明は位相的摂動技法とエルゴディック理論、バイトリの被覆議論を組み合わせ、一般の軌道が測度論的に周期軌道によってシャドーイング可能であることを示す。

ABSTRACT

We prove the ergodic Closing Lemma for Nonsingular Endomorphisms.

研究の動機と目的

• 微分同相写像から $C^1$ 非特異自己写像へマナーレのエルゴディックなクロージング補題を拡張すること。
• 非特異自己写像の残渣的部分集合に対して、不変確率測度が、周期軌道に台を持つエルゴディック測度の閉凸包であることを確立すること。
• 自己写像力学における一般の双曲性および拡張性を研究するための基盤的道具を提供すること。

提案手法

• 近傍の写像 $g \in \mathcal{U}$ の周期軌道によって $\epsilon$-シャドーイングされる点の集合 $\Sigma(f, \mathcal{U}, \epsilon)$ を導入する。
• 位相的摂動補題を用いて、自分自身に近接して帰還する点が、$C^1$-近傍の自己写像の周期軌道によって $\epsilon$-シャドーイング可能であることを示す。
• ビrkhoffのエルゴディック定理とバイトリの被覆議論を適用し、任意の不変確率測度に対してシャドーイング集合が全測度を持つことを証明する。
• ネストされた近傍基底 $\mathcal{U}_n$ を用いて $\Sigma(f) = \bigcap_n \Sigma(f, \mathcal{U}_n, 1/n)$ を定義し、残渣的性を保証する。
• 双曲的周期点の安定性を活用し、残渣的集合における摂動が双曲性を保存することを保証する。
• 軌道に沿った経験的測度の弱-* 収束を用いて、エルゴディック測度が周期軌道測度の極限として得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マナーレのエルゴディックなクロージング補題は、非特異自己写像へ拡張可能か？
• RQ2 一般の $C^1$ 非特異自己写像に対して、不変確率測度の集合は、周期軌道に台を持つエルゴディック測度の閉凸包か？
• RQ3 一般の非特異自己写像に対して、任意のエルゴディック不変測度は、周期軌道測度の弱-* 極限として生じるか？
• RQ4 $C^1$ 非特異自己写像の設定において、一般の軌道が周期軌道によってシャドーイング可能であることは示せるか？
• RQ5 残渣的集合および周期測度凸包写像の連続性は、一般の構造的性質を証明する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 残渣的部分集合 $\mathcal{R} \subset \mathrm{NEnd}^1(M)$ に対して、任意の $f \in \mathcal{R}$ は、$\mathcal{M}_1(f)$ が $f$ の周期軌道に台を持つエルゴディック測度の閉凸包であることを満たす。
• 任意の $f$-不変確率測度に対して、近傍の写像の周期軌道によって $\epsilon$-シャドーイングされる点の集合 $\Sigma(f)$ は全測度を持つ。
• 任意の $f \in \mathrm{NEnd}^1(M)$ に対して、集合 $\Sigma(f, \mathcal{U}, \epsilon)$ は $f$ に対して全確率集合であり、エルゴディックなクロージング補題の非残渣的版を証明する。
• エルゴディック測度は、$f$ に $C^1$-近接する写像 $g_k \to f$ の周期軌道測度の弱-* 極限として得られる。その周期点は双曲的であり、小さな摂動に対しても安定である。
• $f \mapsto \overline{\mathcal{M}_{\text{per}}(f)}$ は下半連続であり、この写像の連続点の集合は残渣的である。
• 残渣的集合 $\mathcal{R}$ は、周期軌道エルゴディック測度の閉凸包が、すべての $f$-エルゴディック測度をカバーすることを保証し、構造的安定性予想の測度論的側面を確認する。