[論文レビュー] The Eudoxus Real Numbers

Rob Arthan|ArXiv.org|May 24, 2004

History and Theory of Mathematics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Eudoxusの比例論を用いて実数の新しい構成を提示する。実数は、ℤ から ℤ へのほぼ準同型の同値類として表現される。主な貢献は、有理数を経由せずに、初等代数と加法性からの逸脱の有界性のみを用いて、ℝ に同型な加法群としての実数の群を自己完備的に導出することにある。

ABSTRACT

This note describes a representation of the real numbers due to Schanuel. The representation lets us construct the real numbers from first principles. Like the well-known construction of the real numbers using Dedekind cuts, the idea is inspired by the ancient Greek theory of proportion, due to Eudoxus. However, unlike the Dedekind construction, the construction proceeds directly from the integers to the real numbers bypassing the intermediate construction of the rational numbers. The construction of the additive group of the reals depends on rather simple algebraic properties of the integers. This part of the construction can be generalised in several natural ways, e.g., with an arbitrary abelian group playing the role of the integers. This raises the question: what does the construction construct? In an appendix we sketch some generalisations and answer this question in some simple cases. The treatment of the main construction is intended to be self-contained and assumes familiarity only with elementary algebra in the ring of integers and with the definitions of the abstract algebraic notions of group, ring and field.

研究の動機と目的

• Eudoxus の比例論に基づく、有理数を経由せずに実数を初等的原則から構成すること。
• 整数 ℤ から ℤ へのほぼ準同型の同値類として実数を定義すること。ここで、加法性からの逸脱が有界である。
• その結果得られる構造（Eudoxus 実数と呼ばれる）が、実数の加法群に同型であることを確立すること。
• この構成を任意のアーベル群へ一般化し、構成の代数的性質を明確にすること。
• 過去の取り組みにおける基礎的問題（例えば、誤った完備性の証明）を解消し、修正され、きめ細やかな展開を提供すること。

提案手法

• ほぼ準同型 f: ℤ → ℤ を、d_f(p,q) = f(p+q) - f(p) - f(q) の範囲が有界である関数として定義する。
• このようなほぼ準同型すべての集合 S を作り、点ごとの加法に関してアーベル群をなす。
• 有界範囲を持つ関数の部分群を B とし、商群 ℰ = S/B を形成する。
• 床関数を用いた明示的同型写像の構成により、ℰ が実数の加法群に同型であることを示す。
• 正の実数 x ∈ ℰ を表すために ν_x(p) = ⌊p^𝔼 x⌋ を用い、x = sup{x} = [ν_x] を証明する。
• ほぼ準同型のグローバルな成長見積もりを用いて、ℰ の完備性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数を構成する前に、整数から Eudoxus の比例論のみを用いて実数を直接構成できるか？
• RQ2 Eudoxus の構成の背後にある代数的構造は何か？ そして、任意のアーベル群へどのように一般化できるか？
• RQ3 なぜ過去のこの方法による実数の構成試みは失敗するのか、特に完備性の証明においてか？
• RQ4 ほぼ準同型に関する有限情報は、ℰ 内の同値類の性質をどのように推論できるか？
• RQ5 正規形は、Eudoxus の構成を実効的かつ計算的に意味のあるものにするのに果たす役割は何か？

主な発見

• ほぼ準同型の集合 S を有界関数の部分群 B で割った商群 ℰ（Eudoxus 実数）は、実数の加法群に同型である。
• この構成は自己完備的であり、有理数やデデキンド切断を必要とせず、ℤ 上の初等代数のみを用いる。
• 実数 x ∈ ℝ は、ν_x(p) = ⌊p^𝔼 x⌋ により表される同値類 [ν_x] として表現され、この表現は x = sup{x} = [ν_x] を満たす。
• この方法は、ほぼ準同型の成長率に関するグローバル見積もりを用いることで、ℰ の完備性を正しく確立しており、過去の取り組みにおける誤りを是正している。
• A’Campo が示したように、|d_f(x,y)| ≤ 1 となる正規形が自然に得られ、計算効率が向上する。
• Eudoxus の構成は、階段や柱のような離散的数え上げと連続的量との間に深い関係を示しており、Eudoxus の元々の比例論を反映している。