[論文レビュー] The Exact Form of the Green's Function of the H\"uckel (Tight Binding) Model

Ramis Movassagh, Yuta Tsuji+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Graph theory and applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形鎖およびサイクル系におけるH"uckel（タイトビンディング）モデルのグリーン関数の正確な形を解析的に導出しており、逆行列が実対称であり、偶奇性および距離に基づく閉形式の式に従うことを証明している。サイクル系では、逆行列がトーペリッツ行列であることを示し、d次元格子における可逆性の数論的条件を確立している。応用としては、電子輸送および電導度に関する応用が含まれる。

ABSTRACT

The applications of the H\uckel (tight binding) model are ubiquitous in quantum chemistry and solid state physics. The matrix representation is isomorphic to an unoriented vertex adjacency matrix of a bipartite graph, which is also the Laplacian matrix plus twice the identity. In this paper, we analytically calculate the determinant and, when it exists, the inverse of this matrix in connection with the Green's function, $\mathbf{G}$, of the $N imes N$ H\uckel matrix for linear chains and cyclic systems. For an open linear chain we prove that $\mathbf{G}$ is a real symmetric matrix whose entries are $G\left(r,s ight)=\left(-1 ight)^{\frac{r+s-1}{2}}$ when $ $$r$ is even and $s<r$ is odd; $G\left(r,s ight)=0$ otherwise. A corollary is a closed form expression for a Harmonic sum (Eq. 9). For a ring we calculate the inverse, give formulas for the entries and find that it is always a Toeplitz matrix. We then extend the results to $d-$dimensional lattices, whose linear size is $N$. The existence of the inverse becomes a question of number theory. We prove that the inverse exists if and only if $N+1$ and $d$ are odd and $d$ is smaller than the smallest divisor of $N+1$. We corroborate our results by numerical demonstrations of the entry patterns of the Green's function and discuss applications related to transport and conductivity.

研究の動機と目的

• 1次元の線形鎖およびサイクル系におけるH"uckel行列のグリーン関数の正確な解析的形を導出すること。
• 特に高次元格子においてH"uckel行列の逆行列が存在する条件を特定すること。
• H"uckel行列の可逆性と数論、特に系サイズに関する整除条件との関連を確立すること。
• 電子的性質（電導度や輸送性）の直接計算を可能にする行列要素の閉形式表現を提供すること。

提案手法

• H"uckel行列は、双分グラフに同型な隣接行列として表現され、ラプラシアン行列に2倍の単位行列を加えたものに等しい。
• 線形鎖およびリングに対して、組合せ論的および代数的技法に特化した解析的手法を用いて行列式および逆行列を計算した。
• 線形鎖の場合、グリーン関数の要素は偶奇性に基づく符号則を用いて導出された：$ G(r,s) = (-1)^{(r+s-1)/2} $ は $ r $ が偶数で $ s < r $ が奇数のときであり、それ以外は0である。
• サイクル系では、逆行列がトーペリッツ行列であることが示され、要素は三角関数の和および対称性の考察によって表現可能である。
• d次元格子への拡張では、可逆性条件を $ N+1 $ と次元 $ d $ に関する数論的問題に還元した。
• 数値的検証を用いてグリーン関数の要素パターンが解析的予測と一致することを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界条件が開放的な1次元H"uckelモデルにおけるグリーン関数の正確な解析的形は何か？
• RQ2 H"uckelモデルにおける線形鎖とサイクル系の間で、逆行列の構造はどのように異なるか？
• RQ3 d次元格子（サイズ $ N $）におけるH"uckel行列の逆行列が存在する数論的条件は何か？
• RQ4 サイクル系におけるグリーン関数の要素について、閉形式の表現を導出できるか？また、それは常にトーペリッツ行列か？
• RQ5 導出されたグリーン関数が、このような系における電子輸送および電導度に与える影響は何か？

主な発見

• 開放的線形鎖では、グリーン関数は実対称行列であり、$ r $ が偶数で $ s < r $ が奇数のとき $ G(r,s) = (-1)^{(r+s-1)/2} $、それ以外は0である。
• この結果の系として、式 (9) に示される特定の調和級数の閉形式表現が得られる。
• サイクル系では、H"uckel行列の逆行列は常にトーペリッツ行列であり、要素はサイトインデックスの距離および偶奇性に依存する。
• d次元格子では、逆行列が存在するための必要十分条件は、$ N+1 $ と $ d $ がともに奇数であり、かつ $ d $ が $ N+1 $ の最小の素因数未満であることである。
• 数値シミュレーションにより、グリーン関数の予測された要素パターンが確認され、解析的導出を裏付けた。
• 導出されたグリーン関数により、H"uckelモデル系における輸送および電導度特性の直接計算が可能になった。