[論文レビュー] The exceptional Jordan algebra and the matrix string

Lee Smolin|ArXiv.org|Apr 5, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 12被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、例外的ジュリアン代数 $ J^3_{\mathcal{O}} $ に基づく背景独立な行列モデルを提案する。このモデルの27個の行列自由度は、弦理論のボソン的およびフェルミオン的励起状態を符号化している。2次元へのコンパクト化の結果、$ SO(8) $ が $ G_2 $ に破れ、行列弦理論の作用が再現され、三重性と三次相互作用を通じてM理論、ループ量子重力、およびオクトン数幾何学の統一が示唆される。

ABSTRACT

A new matrix model is described, based on the exceptional Jordan algebra. The action is cubic, as in matrix Chern-Simons theory. We describe a compactification that, we argue, reproduces, at the one loop level, an octonionic compactification of the matrix string theory in which SO(8) is broken to G2. There are 27 matrix degrees of freedom, which under Spin(8) transform as the vector, spinor and conjugate spinor, plus three singlets, which represent the two longitudinal coordinates plus an eleventh coordinate. Supersymmetry appears to be related to triality of the representations of Spin(8).

研究の動機と目的

• 背景独立な量子重力（ループ量子重力によるもの）と背景依存的な弦理論を一つの枠組みで統一すること。
• M理論の背後にある一意な数学的構造（特に例外的ジュリアン代数 $ J^3_{\mathcal{O}} $）を同定すること。
• 弦理論における余剰次元と高次スーパーサイムメトリの起源を、オクトン数代数的構造によって説明すること。
• $ Spin(8) $ のスーパーサイムメトリと三重性が、モデルの代数的構造から自然に生じるかどうかを検討すること。
• モデルのコンパクト化が、量子変形されたループ量子重力に類似した量子重力の双対的定式化をもたらすかどうかを調査すること。

提案手法

• モデルは、例外的ジュリアン代数 $ J^3_{\mathcal{O}} $ に基づく三次行列チャーン・サイモンズ理論として定式化され、計量や多様体に依存しない純代数的作用が与えられる。
• 27個の行列自由度は、$ Spin(8) $ に対してベクトル、スピンルール、および共役スピンルール表現として変換され、縦方向および11番目の次元に対応する3つのスカラー状態（シングレット）を含む。
• 三重トーラスコンパクト化が適用され、$ 0 $-方向がプランクスケールに縮小され、$ \partial_0 $ および $ a_{0P}^Q $ 項を無視することで、2次元有効作用が得られる。
• 得られた有効作用は、$ SO(8) $ 対称性が $ G_2 $ に破れた行列弦理論作用と一致し、$ V_{\vec{a}} $ 行列間の三次および四次相互作用を含む。
• 三重性を用いて、場を $ V_{\vec{a}} $、$ S_\alpha $、および $ \bar{S}_{\bar{\alpha}} $ として表現し、作用をこれらの成分で記述する。
• モデルの構造から、スーパーサイムメトリが $ F_4 $ 代数のスピンルール生成子がジュリアン代数成分に作用することによって生じる可能性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 例外的ジュリアン代数 $ J^3_{\mathcal{O}} $ は、M理論のための一意で背景独立な枠組みを提供できるか？
• RQ2 コンパクト化されたモデルにおける $ SO(8) $ から $ G_2 $ への対称性の破れが、既知の行列弦理論作用を再現するか？
• RQ3 $ G_2 $-破れにおいてスーパーサイムメトリが保存されるか？ もしそうなら、三重性および $ F_4 $ 代数とどのように関係するか？
• RQ4 $ J^3_{\mathcal{O}} $ の27自由度が、最近のボソン的M理論モデルで提唱された27次元に対応するか？
• RQ5 背景独立な位相を有するコンパクト化が、行列弦理論の双対的定式化をもたらし得るか？ その場合、量子変形されたループ量子重力として実現可能か？

主な発見

• コンパクト化されたモデルから導かれた2次元有効作用は、既知の行列弦理論作用と一致し、$ SO(8) $ 対称性が $ G_2 $ に破れている。
• モデルの $ V_{\vec{a}} $ 行列間の三次および四次相互作用項は、元の $ SO(8) $ 対称性の $ G_2 $-破れを反映している。
• 27個の行列自由度は、$ Spin(8) $ のベクトル、スピンルール、および共役スピンルール表現に加え、縦方向および11番目の次元を表す3つのシングレットに対応する。
• スーパーサイムメトリがコンパクト化されたモデルでも保存されており、$ F_4 $ 代数のスピンルール生成子がジュリアン代数成分に作用することによって生じる可能性がある。
• モデルは、行列弦理論と背景独立な量子重力の定式化との間の双対性を示唆しており、量子変形されたループ量子重力として実現可能である可能性がある。
• 例外的ジュリアン代数の代数的構造は、自然に弦理論の自由度を符号化しており、オクトン数幾何学とM理論との深い関係を示唆している。